Indice

INDICE GENERAL

I: La axiomatización del conocimiento

II: ¿Son consistentes las matemáticas?

III. Dificultades para probar la consistencia

IV: En búsqueda de pruebas de consistencia

V: Las herramientas de la lógica formal

VI. La numeración de Gödel

VII: Entra la metamatemática en el panorama

VIII: El núcleo central de la prueba de Gödel

IX: Conclusiones

Bibliografía y referencias

I: La axiomatización del conocimiento

Todos aquellos que hayan estudiado geometría elemental no memorizando fórmulas relacionadas con figuras geométricas para resolver problemas numéricos sino en la manera en que la geometría debe (o debería) ser enseñada, inspirada en la metodología de la obra Los Elementos de Euclides, recordarán que el estudio de la materia se lleva a cabo de una manera deductiva. La geometría no es una ciencia experimental cuyos teoremas (y fórmulas relacionadas con dichos teoremas) deban ser aceptados por parecer estar de acuerdo con lo que nos enseña la observación y la experiencia cotidiana. La idea de que una proposición pueda ser establecida como conclusión de una prueba lógica explícita se remonta a los griegos de la antigüedad, los cuales descubrieron lo que hoy se conoce con el nombre de método axiomático, utilizando dicho método para llevar a cabo un desarrollo sistemático de la geometría. El método axiomático consiste en aceptar sin prueba ciertas proposiciones, como la proposición de que entre dos puntos sólo puede trazarse una línea recta, y en derivar de tales proposiciones todas las demás proposiciones del sistema. Las proposiciones elementales usadas como punto de partida constituyen los “cimientos” del sistema, mientras que todas las demás proposiciones obtenidas mediante combinaciones diversas de las proposiciones elementales son la “superestructura”, y se obtienen partiendo de las proposiciones elementales usando exclusivamente de los principios de la lógica.

Del mismo modo en que no todas las palabras pueden ser definidas en términos de otras palabras (como las palabras olor, verde y espacio), tampoco es posible probar que todas las proposiciones sean verdaderas o falsas recurriendo a otras proposiciones. Un razonamiento “circular” es a fin de cuentas una falacia circular, (un ejemplo de ello sería definir un conjunto A como todo conjunto que posee elementos que pertenecen al conjunto B, y definir al conjunto B como todo conjunto que posee elementos que pertenecen al conjunto A) y no es mejor que una definición circular. Se vuelve por lo tanto inevitable el tener que aceptar ciertas proposiciones como verdaderas desde un principio sin cuestionarlas, y a partir de ello deducir la validez o la falsedad de otras proposiciones deducidas a partir de las proposiciones que suponemos incuestionablemente como verdaderas.

Una proposición que desde un principio se acepta incuestionablemente como cierta sin mayor discusión es llamada un axioma. Sin embargo, un axioma no puede ser considerado como una “verdad auto-evidente”, aunque una definición tal a veces sea encontrada en algunos diccionarios. Un axioma puede ser verdadero en el sentido en que es consistente con nuestras experiencias previas, pero en matemáticas es irrelevante si los axiomas son verdaderos en este sentido. El matemático está interesado únicamente en las consecuencias de la verdad supuesta del axioma. Naturalmente, las ramas de las matemáticas que son de mayor valía para nosotros en un sentido práctico son aquellas que sean más consistentes en describir nuestras experiencias. Así pues usamos ordinariamente axiomas que parecen ser consistentes con la experiencia, de modo tal que muchos axiomas que tomamos como verdaderos parecen ser “verdades auto-evidentes”. El punto importante es que los axiomas son proposiciones que se suponen ciertas desde un inicio.

Hay dos axiomas que son fundamentales para toda la estructura matemática. Pueden ser enunciados de la siguiente manera:

Axioma 1. Axioma de identidad: Para cualquier objeto, a = a.

Axioma 2. Axioma de substitución: Si a es igual a b, entonces a puede ser usada para reemplazar a b en cualquier proposición que contenga a b sin alterar la validez de la proposición.

Usando conceptos tales como palabras que se aceptan sin definición previa, definiciones, axiomas y ciertas reglas de lógica, podemos establecer la validez de ciertas implicaciones. Aquellas implicaciones que son consideradas como básicas para el desarrollo de las matemáticas son conocidas como teoremas. Puesto todo junto, se tiene entonces algo que se puede considerar como una estructura matemática.

Con los dos axiomas dados arriba, podemos demostrar el siguiente teorema que llamaremos la propiedad de simetría del signo de igualdad en donde introduciremos el símbolo de implicación  “⇒” que se  puede leer como “si la proposición antecedente es cierta, entonces se cumple la proposición que sigue”:

a = b ⇒  b = a

Esta expresión simbólica traducida al Castellano nos dice que:

“Si a = b, entonces b = a”

Esto parecería tan “evidente” que aparentemente no necesitaría demostración alguna y debería aceptarse como axioma. Sin embargo, es algo que se puede obtener de los axiomas indicados. Para demostrarlo empezamos con el axioma de identidad nos asegura que lo siguiente es verdadero:

b = b

Por otro lado, si a = b (lo cual tomamos como hipótesis) entonces en el lado derecho de la igualdad que se tiene arriba podemos substituír b por a aplicando el axioma de substitución, con lo cual se obtiene:

b = a

Se concluye entonces que:

si a = b entonces b = a

lo cual podemos expresar simbólicamente como:

a = b ⇒ b = a

Cualquier cosa, por sencilla que parezca, cuya veracidad pueda ser demostrada partiendo de axiomas más sencillos, evidentemente no es un axioma, es un teorema.

PROBLEMA: Demostrar la propiedad transitiva del signo de igualdad:

“Si a = b y b = c entonces a = c”

Tenemos dos proposiciones distintas:

a = b

b = c

que aceptamos como verdaderas, o sea las tomamos como hipótesis. Para poder llegar a la conclusión deseada, simplemente aplicamos el axioma de substitución obteniendo la consecuencia a.=.c. Así pues, en simbolismo lógico, se ha demostrado que:

a = b y b = c ⇒ a = c

PROBLEMA: Sean α y β dos objetos (no necesariamente números, que hasta pueden representar algo intangible como traslaciones o rotaciones en el espacio de algún sistema de coordenadas) distintos para los cuales los siguientes axiomas son válidos:

Axioma I: αβ = α

Axioma II: αα = β

A partir de los dos axiomas proporcionados, demostrar los siguientes tres teoremas:

Teorema I: ββ = β

Teorema II: αβ = βα

Teorema III: (xy)z = x(yz) en donde x, y y z son separadamente αβ o β.

En la solución de este problema, en todo momento hay que obedecer “las reglas del juego”; nada que no pueda ser deducido de los axiomas se puede aceptar como cierto.

Para la demostración del Teorema I, partimos del Axioma II:

αα = β

Aplicando repetidamente el axioma I en el lado derecho de la igualdad anterior, se tiene:

α(αβ) = β

ααβ = β

(αα)β = β

(β)β = β

ββ = β

Para la demostración del Teorema II, partimos del Axioma III:

(αα)α = α(αα)

Aplicando el Axioma II en el lado izquierdo de la igualdad, se tiene:

(β)α = α(αα)

βα = α(αα)

Volviendo a aplicar el Axioma II, pero en esta ocasión en el lado derecho de la igualdad, se tiene:

βα = α(β)

βα = αβ

Obsérvese algo interesante. En el Teorema II hemos demostrado la propiedad de conmutatividad en el sistema axiomático proporcionado. Esta es una conclusión que se obtiene mediante una aplicación directa de los axiomas, no es algo que se haya postulado de antemano como siempre cierto. Se trata de una conclusión que se deriva, no de algo que se acepta sin cuestionamiento alguno como cierto. Cabe observar que la conmutatividad no es algo universal. En algunos sistemas matemáticos (como las matrices) no existe conmutatividad alguna, excepto en ciertos casos especiales.

Las matemáticas no son la única rama del vasto conocimiento científico que ha experimentado un proceso de axiomatización. Albert Einstein, por ejemplo, basó toda su Teoría Especial de la Relativdad en tan solo dos postulados:

1) El movimiento absoluto es indetectable.

2) La velocidad de la luz es la misma independientemente del movimiento relativo de los observadores.

Tal vez a muchos les cueste trabajo creer o inclusive aceptar que todas las fórmulas y teoremas que se desarrollan en libros y tratados acerca de la Teoría Especial de la Relatividad se puedan obtener partiendo de tan solo los dos postulados (axiomas) dados arriba, pero así es en efecto. Y antes que Einstein, Isaac Newton basó toda la compleja estructura de su mecánica Newtoniana en tan solo tres postulados (axiomas) hoy conocidos como las tres leyes de Newton (a saber, la ley de la inercia, la ley de la dinámica, y la ley de la acción y la reacción). De estos tres sencillos postulados nacieron los procedimientos científicos que le permiten a los astrónomoe y a las agencias espaciales el poder calcular la trayectoria y las órbitas de los planetas y satélites aún hasta nuestros días. Pero de hecho la metodología axiomática aplicada a la física empezó con Arquímedes, sin duda alguna el más grande de los matemáticos de la antigüedad, el cual entre muchas otras cosas demostró una variedad de teoremas en mecánica clásica basándose en un conjunto básico de axiomas que le fueron sugeridos por su experiencia propia con pesos, balanzas y palancas. Supóngase que dos pesos que simbolizaremos como W₁ y W₂ descansan sobre los dos extremos opuestos de una palanca a distancias respectivas d₁ y d₂ del punto de apoyo que está situado entre los dos extremos opuestos de la palanca (si las distancias fueran iguales, entonces estaríamos hablando más de una balanza que de una palanca). Se puede ilustrar la situación de la siguiente manera:

Los dos axiomas de Arquímedes relativos a la palanca se pueden enunciar del modo siguiente:

Axioma 1: Si W₁.=.W₂ y d₁.=.d₂, entonces el sistema estará equilibrado (“la palanca estará equilibrada si los dos pesos son iguales y están a la misma distancia del punto de apoyo”), pero si W₁.=.W₂ y d₁.≠.d₂ (o sea las distancias son diferentes) el sistema no estará equilibrado y la balanza se inclinará hacia el lado que se encuentra a mayor distancia (“si los pesos son iguales pero se encuentran a distancias diferentes del punto de apoyo la palanca no estará equilibrada”).

Axioma 2: Si el sistema se encuentra equilibrado para cierto conjunto de pesos y distancias, y se le añade un peso adicional a  W₁, entonces el equilibrio no se mantendrá y la palanca se inclinará hacia  W₁. De modo semejante, si se quita peso de  W₁, la palanca se inclinará hacia  W₂.

Una situación en la que W₁ y W₂ son diferentes pero aún así la palanca se mantiene en equilibrio requiere necesariamente que d₁ y d₂ sean diferentes. Resulta tentador agregar este hecho como axioma a nuestro conjunto de axiomas, inflando el conjunto de axiomas a tres axiomas. Sin embargo, sería un error de nuestra parte, ya que se puede se puede deducir a partir de los dos axiomas anteriores con que se cuenta, y por lo tanto la proposición no sería un axioma sino un teorema.

PROBLEMA: Para la palanca de Arquímedes, demostrar que si el sistema se encuentra en equilibrio entonces:

W₁ ≠ W₂ ⇒ d₁ ≠ d₂

En Castellano ordinario leemos lo anterior como “si los pesos colocados en los extremos de una palanca son diferentes, entonces para que la palanca se encuentre en equilibrio las distancias de los pesos hacia el punto de apoyo de la palanca deben ser diferentes”.

La solución de este problema es un buen ejemplo de lo que se conoce como una prueba por contradicción. Para ello, suponemos la negación de la proposición a ser demostrada, o sea supondremos que un sistema equilibrado requiere que:

W₁ ≠ W₂ ⇒ d₁ = d₂

lo cual traducido al Castellano se lee como:

“Si los pesos colocados en los extremos de una palanca son diferentes, entonces para que la palanca se encuentre en equilibrio las distancias de los pesos hacia el punto de apoyo de la palanca deben ser iguales”.

Ahora bien, si los pesos son diferentes:

W₁ ≠ W₂

entonces necesariamente W₁ es mayor que W₂ o bien W₁ es menor que W₂. Supóngase primero que W₁ es mayor que W₂. Entonces la diferencia entre ambos pesos simbolizada como W₃ será:

W₁ - W₂ = W₃

Si restamos W₃ de W₁ tendremos un peso igual a W (que es igual a W₂). El nuevo sistema, en el cual:

W = W₂

d₁ = d₂

estará en equilibrio, basándonos eb lo que nos afirma el Axioma 1.

Ahora agréguese un peso W₃ a W para obtener nuevamente W₁. Aplicando ahora el Axioma 2, el sistema no permanecerá en equilibrio sino que se inclinará hacia W₁. Pero al haber hecho estas operaciones con los pesos vemos que tenemos nuevamente el sistema original con el que habíamos comenzado, con lo cual tenemos una contradicción a la hipótesis de que el mismo sistema que se encontraba en equilibrio no se encuentra en equilibrio. Por lo tanto, no puede ser cierto que W₁ sea mayor que W₂ y d₁.=.d₂ para una condición de equilibrio. (El lector puede construír por sí mismo de modo semejante la prueba de que W₁ debe ser menor que W₂ cuando d₁.=.d₂ para una condición de equilibrio). Consecuentemente, se ha demostrado que:

d₁ = d₂ ⇒ W₁ = W₂

lo cual es contrario a la suposición original de que W₁.≠.W₂. Se concluye entonces que:

W₁ ≠ W₂ ⇒ d₁ ≠ d₂

que podemos expresar en las siguiente palabras como un teorema: En una palanca en equilibrio, si los pesos en los extremos de la palanca son diferentes entonces las distancias de los pesos hacia el punto de apoyo también serán diferentes.

El ejercicio anterior demuestra que, incluso en los casos más sencillos, se requiere algo de maña para descubrir que algo que creemos que tiene que ser añadido a nuestro conjunto básico de axiomas como un axioma adicional en realidad se trata de un teorema que puede ser deducido de los axiomas que ya se tienen.

Pero, ¿cómo podemos estar realmente seguros de que lo que creemos que tal vez sea un axioma pueda ser obtenido de los axiomas que ya se tienen? ¿Y qué hacer si, por más que le busquemos por todos lados, encontramos que es imposible deducir cierta proposición de los axiomas que ya se tienen? ¿Lo aceptamos como un nuevo axioma, incuestionablemente cierto e imposible de demostrar a partir de otros axiomas? Este es el meollo del asunto.

Considérese el Teorema de Pitágoras: “En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos”. Esto ni remotamente es una “verdad auto-evidente”, y como su nombre lo indica, se trata de un teorema que ultimadamente puede ser deducido de un conjunto reducido de axiomas. No podemos aceptarlo como incuestionablemente cierto solo porque algún maestro en la escuela nos pidió alguna vez que nos aprendiéramos la fórmula de memoria. Tampoco nos satisface el saber que la fórmula vino de algún “iluminado” que por tener fama de “iluminado” dice cosas que siempre se deben aceptar como ciertas sin ponerlas jamás en tela de duda; al menos no es así como se desenvuelven las matemáticas. Considérese también otra expresión que diga: “La fórmula P(n) siempre generará un número primo para cualquier entero positivo n”, tras lo cual se nos presenta una fórmula P(n) extremadamente complicada. Podemos en un primer intento recurrir a la Teoría de Números para tratar de demostrar la falsedad o veracidad de la propuesta. Pero la búsqueda de una demostración que compruebe o desmienta la hipótesis puede ser un asunto que tal vez lleve años o siglos si no milenios dilucidar. En este caso, sabemos de antemano que la propuesta tiene que ser necesariamente cierta o falsa, y si es falsa entonces debe existir por lo menos algún número n que produzca un entero P(n) que no es un número primo, en cuyo caso la expresión quedaría demostrada como falsa. En la búsqueda de tal número n, podríamos tratar de recurrir al uso de una supercomputadora. ¿Pero qué sucede si el número n es tan grande que supere incluso la magnitud de un Gúgolplex? En tal caso, no habrá ninguna computadora por “super” que sea capaz de encontrar dicho número.

Podemos sucumbir a la tentación de elevar a la categoría de axioma algo que parece ser indudablemente e incuestionablemente cierto, usando expresiones tales como “es obvio” o “aceptamos como verdadero”. Pero el incurrir en tales suposiciones ha terminado siendo la fuente de innumerables pifias en la historia de las matemáticas. En la actualidad, ninguna publicación científica seria acepta trabajos en los cuales hay expresiones tales como “resulta obvio” y “resulta evidente”, al menos no sin someterlas a cientos de revisiones bajo un microscopio. Esto es precisamente lo que dió pie al rigorismo extremo pregonado por el grupo Nicolás Bourbaki, convirtiendo a la matemática formal en algo mucho más incomprensible y mucho menos entendible de lo que ya era, removiendo todo rastro de “intuición” en los textos matemáticos serios.

Regresando de nuevo a la palanca de Arquímedes, la siguiente ilustración nos muestra una relación matemática que es necesaria y suficiente para que la palanca se encuentre en equilibrio balanceado:

La relación matemática se basa en un concepto en el cual multiplicamos el peso W puesto en un extremo de la palanca por la distancia del peso hacia el punto de apoyo de la palanca, es lo que en la física se define como el momento mecánico o torque. La pregunta inmediata es: ¿se puede deducir la relación matemática dada arriba a partir de los dos axiomas de Arquímedes, al incluír la definición del momento mecánico? Obsérvese otra cosa importante: la relación matemática, por sí sola, parece resumir los dos axiomas de Arquímedes, ya que implica que si a un sistema que se encuentra en equilibrio se le quita o se le agrega peso en uno de los extremos de la palanca, el sistema dejará de estar en equilibrio al no cumplirse la igualdad; y también implica que manteniendo los pesos iguales si la distancia de uno de ellos hacia el punto de apoyo de la palanca cambia entonces la palanca también dejará de estar en equilibrio. Parece que los dos axiomas de Arquímedes se pueden deducir de la relación matemática dada si tal relación se toma como un axioma aún más básico, en cuyo caso los dos axiomas de Arquímedes dejarían de serlo para pasar a ser teoremas. Sin embargo, la relación matemática para un sistema en equilibrio basada en el concepto del momento mecánico ya no parece ser una “verdad auto-evidente”, y ciertamente va en contra de la idea de que el procedimiento de axiomatización se basa en ir progresivamente de lo más sencillo hacia lo más complejo. Este ejemplo sencillo ilustra las enormes dificultades que suelen encontrarse al momento de tener que decidir si se se adopta cierta proposición como un axioma, o se le interpreta como un teorema deducible de otras proposiciones aún más elementales.

Son raros los sistemas axiomáticos en los cuales se acepta como “verdad auto-evidente” e incuestionable una fórmula matemática aparentemente sacada de la nada, cualesquiera que ésta sea y por sencilla que sea. Sin embargo, es posible tratar de formalizar lo anterior asentando como definición preliminar lo que entendemos por el momento mecánico, de modo tal que tendríamos el siguiente sistema:

Definición: El momento mecánico simbolizado como τ se define como una cantidad igual al peso W en un lado de una palanca multiplicado por la distancia de dicho peso al punto de apoyo de la palanca.

Axioma A: Para que una palanca se encuentre en equilibrio, es necesario que los momentos mecánicos en cada lado de la palanca sean iguales.

Axioma B: Si los momentos mecánicos en ambos lados de la palanca son desiguales, entonces la palanca se inclinará hacia el lado en donde el momento mecánico sea mayor.

La fórmula dada arriba se puede deducir del Axioma A y de la definición del momento mecánico, ya que para que la palanca se encuentre en equilibrio se requiere que los momentos mecánicos en cada lado de la palanca sean iguales, y si el momento mecánico τ₁ en un lado de la palanca es igual por definición a W₁d₁, y el momento mecánico τ₂ en el otro lado de la palanca es igual por definición a W₂d₂, entonces en virtud del Axioma A se tiene que, para que la palanca esté en equilibrio se debe cumplir la siguiente condición:

τ₁ = τ₂

W₁d₁ = W₂d₂

De este modo, la fórmula se deduce como un teorema directamente de la definición dada y los dos axiomas A y B. Y del teorema que se acaba de probar, se deduce que si los pesos son iguales, entonces para que la igualdad se mantenga en pie las distancias también deben ser iguales.

El desarrollo axiomático de la geometría produjo un efecto poderoso en las mentes de pensadores de todos los tiempos, impresionados al ver que un relativamente pequeño número de axiomas podía soportar el peso de las infinitamente numerosas proposiciones que de ellos podían derivarse. Además, si puede demostrarse de alguna manera la “verdad absoluta” de los axiomas que aceptamos incuestionablemente como verdaderos (y en efecto, por más de dos mil años la mayoría de los estudiosos han creído sin discusión que en áreas de estudio como la geometría los axiomas son absolutamente ciertos) quedan automáticamente garantizados tanto la verdad como la consistencia mutua de todos los teoremas. Por esas razones la forma axiomática de la geometría se presentó a muchas generaciones de destacados pensadores como el modelo más excelente de conocimiento científico. Era natural preguntar, por tanto, si era posible asentar sobre un sólido cimiento axiomático otras ramas del pensamiento además de la geometría. No obstante, aunque desde la antigüedad se dió una formulación axiomática a ciertas partes de la física como lo hemos visto arriba, hasta los tiempos modernos la geometría era considerada la única rama de las matemáticas dotada de lo que la mayoría de los estudiosos consideraban una adecuada base axiomática, “a prueba de toda duda”.

Durante los últimos dos siglos el método axiomático fue adquiriendo fuerza y vigor crecientes. Nuevas y viejas ramas de las matemáticas, incluyendo la aritmética de los números cardinales (enteros con los que se pueden efectuar operaciones propias de la aritmética) fueron provistas de lo que parecían ser conjuntos adecuados de axiomas. nació así un estado de opinión en el que se admitía tácitamente que todos los sectores del pensamiento matemático podían ser dotados de unos conjuntos de axiomas susceptibles de desarrollar sistemáticamente la infinita totalidad de proposiciones verdaderas suscitadas en el campo sujeto a investigación. Pero fue en 1931 cuando apareció un trabajo que demostró que esta suposición era insostenible, poniendo frente a los matemáticos la asombrosa y melancólica conclusión de que el método axiomático posee ciertas limitaciones intrínsecas que excluyen la posibilidad de que ni siquiera la aritmética ordinaria de los números enteros pueda llegar a ser plenamente axiomatizada. Y más aún, el mismo trabajo demostró que es imposible establecer la consistencia lógica interna de una amplia clase de sistemas deductivos (la aritmética elemental, por ejemplo) a menos de que se adopten principios tan complejos de razonamiento que su consistencia interna quede tan sujeta a la duda como la de los propios sistemas. A la luz de estas conclusiones, resulta inalcanzable una completa sistematización final de muchas y muy importantes zonas de las matemáticas y no puede darse ninguna garantía absolutamente impecable de que muchas de las más significativas ramas del pensamiento matemático se hallen enteramente libres de toda contradicción interna.

Los descubrimientos presentados en 1931 en aquél trabajo elaborado por Kurt Gödel terminaron socavando prejuicios profundamente arraigados y demolieron las antiguas esperanzas que estaban siendo alimentadas por la investigación en torno a los fundamentos de las matemáticas. Pero el impacto del trabajo no fue totalmente negativo, ya que introdujo en el examen de las cuestiones planteadas en torno al fundamento de las matemáticas una nueva técnica de análisis, comparable por su naturaleza y su fecundidad al método algebraico que René Descartes introdujo en la geometría creando Descartes la rama de estudio que hoy se conoce como la Geometría Analítica que permite darle a las funciones algebraicas una representación visual pictórica. La técnica desarrollada por Gödel sugirió y planteó nuevos problemas para la investigación lógica y matemática, provocando una nueva valoración, todavía en trance de desarrollo, de una extendida filosofía de las matemáticas y de la filosofía del conocimiento en general.

Es demasiado difícil seguir paso a paso todos los detalles de las demostraciones dadas por Gödel en su ya histórico trabajo sin contar previamente con una formación matemática considerable; pero la estructura básica de sus razonamientos y el aspecto esencial de sus conclusiones pueden ser accesibles a lectores que se hallen dotados de una limitada preparación lógica y matemática sin ser especialistas en dichas materias. Para lograr este nivel de comprensión, se hará previamente dentro de esta obra una exposición de ciertos conceptos que son comunes a las matemáticas y la lógica formal moderna.

II: ¿Son consistentes las matemáticas?

Las matemáticas en su totalidad frecuentemente son referenciadas como “la reina de las ciencias”. A diferencia de otras ramas del saber humano en donde para muchas situaciones puede haber dos o más soluciones o respuestas diferentes para un mismo problema, todas ellas igualmente válidas, se supone que en las matemáticas es imposible que ocurra tal cosa porque en las matemáticas solo puede haber una sola respuesta a cada problema. Esto lo sabe muy bien cualquier estudiante que al resolver un problema obtiene una solución numérica de 87 en vez de obtener la solución numérica de 0.0052 que se pedía en el examen o en la tarea, con solo ver la diferencia se dá cuenta de inmediato que algo hizo mal cometiendo una equivocación en el procedimiento de solución de un problema o quizá cometiendo un error de lógica al aplicar los principios de manera equivocada.

Frecuentemente se toma casi como un acto de fé el hecho de que sea imposible obtener dos respuestas completamente distintas a un mismo problema matemático, se dá por hecho que partiendo de un cierto conjunto de principios o postulados solo se puede llegar a una respuesta única y es imposible llegar a dos respuestas diferentes y contradictorias que sean igualmente válidas. Muchos dan por hecho que tal cosa no puede ni podrá llegar a ocurrir jamás, dan por hecho que las matemáticas son consistentes.

¿Pero qué ocurriría si, partiendo de un mismo conjunto de principios elementales o postulados, sin cometer error o equivocación alguna, pero siguiendo caminos diferentes, obtuviéramos dos resultados matemáticos completamente contradictorios? Esto sería una sorpresa sumamente desagradable para la totalidad de los científicos. La humanidad ha invertido mucho tiempo y mucho esfuerzo en levantar la pirámide de conocimientos que agrupan todo aquello que conocemos como matemáticas, poniendo una fé ciega en los resultados y las conclusiones obtenidas, y bastaría un solo ejemplo, <i>uno solo</i>, para poner en duda toda esa pirámide de conocimientos, porque si partiendo de principios que suponemos impecablemente válidos se obtienen resultados inválidos o contradictorios entonces brinca la duda sobre qué más puede andar por allí que también sea inválido o contradictorio. Sería tanto como poner a la pirámide de cabeza.

Si fuese posible obtener dos resultados diferentes y contradictorios de un mismo conjunto de principios o postulados tomados como válidos y a toda prueba, sin haber cometido error alguno, el problema inmediato sería: ¿cuál de los dos resultados es el verdadero y cuál es el falso? Porque damos por hecho de que solo uno de los dos resultados es cierto y el otro debe ser necesariamente falso. No pueden ser dos resultados diferentes igualmente válidos y verdaderos, al menos no en las matemáticas. Pero en una situación así, ¿cómo vamos a saber cuál de los dos resultados desechar, si no cometimos error o equivocación alguna en el desarrollo del problema? Una situación así pondría bajo tela de duda lo que conocemos como la consistencia de las matemáticas. Las matemáticas dejarían de ser consistentes, al menos para ese problema, y posiblemente para todos los demás problemas resueltos mediante las técnicas de las matemáticas.

Un área en donde surgen frecuentemente paradojas matemáticas es aquella en donde manejamos problemas que tienen que ver con el infinito. La división por cero, por ejemplo, es precisamente lo que hace que se presenten conclusiones que parecen ser verdaderas aberraciones, tales como la “demostración” de que ¡2 es igual a 1!. Esta conclusión que de antemano sabemos que debe de estar fatalmente errada se obtiene aplicando rigurosamente y al pie de la letra pasos y procedimientos de álgebra elemental que damos por hecho que nunca deberían de conducir a tan horrible conclusión.

La “demostración” de que 2 es igual a 1, que conduce también por aplicación de los procedimientos del álgebra elemental a la conclusión de que ¡1 es igual a 0! procede de la siguiente manera. Empezamos con lo que parece ser una verdad completamente evidente, asertando que un número incógnito simbolizado como x es igual a cierta cantidad real que simbolizaremos como a:

x = a

Ciertamente, no hay nada erróneo en suponer algo así. Es precisamente en lo que se basa el álgebra. Si no pudiéramos enunciar tal cosa, no habría álgebra.

Multipliquemos ahora ambos miembros de la igualdad por x. Un principio sólido e inmutable del álgebra es que si multiplicamos ambos miembros de una igualdad por la misma cantidad, la igualdad no se altera (usaremos un punto para simbolizar la operación de multiplicación):

x · x = a · x

Simplificando un poco habido el hecho de que en el lado izquierdo de la igualdad tenemos una cantidad multiplicada por sí misma, lo cual es equivalente a elevar dicha cantidad al cuadrado, podemos escribir lo anterior del modo siguiente:

x² = ax

Lo único que hemos hecho aquí ha sido abreviar. Nuevamente, y ateniéndonos a los principios más elementales del álgebra que aprendimos y aceptamos casi como si fuera un acto de fé, si restamos en ambos miembros de una igualdad matemática la misma cantidad, esto no altera en nada la validez de la igualdad matemática. Restemos pues la cantidad a² de ambos lados de la igualdad:

x² - a² = ax - a²

Aplicando ahora los principios elementales de factorización, vemos que tanto el lado izquierdo de la igualdad como el lado derecho pueden ser factorizados del modo que se muestra a continuación:

(x + a) · (x - a) = a(x - a)

Hasta aquí no hemos cometido error alguno en la aplicación de las reglas del álgebra, y cualquier maestro de secundaria o preparatoria nos confirmaría que nuestro desarrollo ha sido impecable.

Si nos fijamos bien, tenemos un factor binomial común en ambos lados de la igualdad. Nuevamente, si dividimos ambos miembros de una igualdad por la misma cantidad, la igualdad no se altera, y esto lo sabe bien cualquier estudiante de álgebra. Vamos a efectuar la siguiente división:

[ (x + a) · (x - a) ] / (x - a) = [a(x - a)] / (x - a)

Al llevar a cabo la división eliminando con ello el factor común en ambos lados de la igualdad, se obtiene entonces:

x + a = a

Inicialmente, se había supuesto que x es una incógnita que representa el valor de una cantidad real a. Digamos que tal valor es 1. Entonces, substituyendo dicho valor se obtiene lo siguiente:

1 + 1 = 1

2 = 1

Para quienes ignoran los detalles de la paradoja, esta conclusión parece completamente inesperada. ¿De modo que 2 es igual a 1? ¿Cómo puede ser tal cosa posible? Y si restamos 1 de ambos miembros de la igualdad, nuevamente aplicando al pie de la letra las reglas del álgebra, llegamos a la siguiente conclusión absurda:

1 = 0

¡Uno es igual a cero! ¿Uno es igual a cero? ¿Cómo puede ser tal cosa posible?

Este es el resumen de la secuencia de pasos empleados en la obtención de la paradoja:

Revisando con lupa los pasos que hemos llevado a cabo desde un principio, no encontramos absolutamente nada que haya violado los principios más elementales del álgebra que se nos han enseñado. Hemos aplicado rigurosamente los principios básicos, y por más que revisamos de arriba hacia abajo y de abajo hacia arriba no encontramos absolutamente nada que nos revele una equivocación.

Ciertamente, uno no puede ser igual a cero. Nos lo dicta la lógica más elemental. Y sin embargo, el resultado está allí, burlándose de nosotros.

En realidad, cuando se somete el desarrollo anterior bajo una lupa más sofisticada, se encuentra que en cierto paso se cometió un error fatal que no se debería de haber cometido. El error se comete cuando saltamos de la expresión:

(x + a) · (x - a) = a(x - a)

a la expresión:

x + a = a

¿Por qué? Pues simple y llanamente porque la cantidad:

x - a

es ni más ni menos que una cantidad igual a cero (toda cantidad restada de sí misma es igual a cero). Y al haber llevado a cabo la división que eliminó el binomio común en ambos miembros de la igualdad, en realidad efectuamos una división por cero. Esto es lo que introduce la manzana de la discordia. Y nos lleva a la siguiente dura lección que debemos tener presente de aquí en adelante:

En matemáticas, está prohibida la división por cero, ya sea manifiesta o disfrazada.

Así pues, no hay paradoja alguna, al menos en lo que hemos visto.

La falacia anterior no es la única que se puede encontrar en las matemáticas. Hay muchas otras en las cuales pese a que creemos que estamos siguiendo al pie de la letra las “reglas del juego”, obtenemos contradicciones absurdas, como la que se ilustra a continuación.

PROBLEMA: Sean m y n dos números diferentes. Si son diferentes, podemos hacer la siguiente aserción:

m – n = 2c

en donde c es un número que puede ser determinado fácilmente. Aplicando álgebra ordinaria, podemos llevar a cabo el siguiente desarrollo algebraico:

Este resultado contradice directamente la suposición inicial de que ambos números eran diferentes. ¿Cuál es el error en el procedimiento mostrado arriba?

La fuente de la paradoja se encuentra al pasar de la pasar de la octava línea a la novena línea, en el paso en donde sacamos raíz cuadrada de ambos lados de la ecuación. La implicación:

(m - n)² = 4c² ⇒  m – n = 2c

no es válida, puesto que antes de sacar la raíz cuadrada, la expresión también es válida para:

n – m = - 2c

En pocas palabras, al sacar raíz cuadrada hay una raíz con signo positivo y otra raíz con signo negativo, y es la raíz con signo negativo la que hay que utilizar para poder llegar a la conclusión correcta.

Desde la perspectiva de la lógica, el ir de cada paso al siguiente involucra una aserción del tipo “si... entonces...”, de modo tal que el procedimiento anterior puede ser reformulado de la manera siguiente que muestra las implicaciones sucesivas:

m - n = 2c	⇒	m2 - mn = 2cm
	⇒	n2 + m2 - mn = 2cm + n2
	⇒	n2 + m2 - 2mn = 2cm + n2 - mn
	⇒	n2 -2mn + m2 = 2cm - n(m - n)
	⇒	n2 -2mn + m2 = 2cm - n(2c)
	⇒	(n - m)2 = 2c(m - n)
	⇒	(n - m)2 = 2c(2c)
	⇒	(n - m)2 = 4c2
	⇒	n - m = 2c
	⇒	n - m = m - n
	⇒	2n = 2m
	⇒	n = m

Tampoco aquí hay paradoja, aunque tal vez se batalle algo para encontrar la causa de la falacia.

Pero hay otros casos en donde se vuelve más endiabladamente difícil salir tranquilamente del laberinto. Uno de ellos es el que tiene que ver con el quinto postulado de Euclides.

Euclides, el gran maestro griego por excelencia fundador de la geometría clásica y fundador de facto del método axiomático en las matemáticas, dió inicio al procedimiento axiomático que consiste en derivar todo enunciado matemático del conjunto más pequeño posible de verdades “autoevidentes” conocidas como axiomas, verdades tan sencillas de enunciar y comprender que estas verdades no podían ser obtenidas a su vez de la combinación de otras verdades aún más sencillas. Fue así como Euclides basó toda su geometría en tan solo cinco axiomas:

1. Por dos puntos solo pasa una recta.
2. Un segmento se puede prolongar indefinidamente.
3. Dados un punto y un radio, solo se puede trazar una circunferencia.
4. Todos los ángulos rectos son iguales.

Todas las fórmulas que conocemos de la geometría clásica como el teorema de Pitágoras, el teorema del centroide de Pappus, y el teorema de la cuadratura de las lunas de Hipócrates, se pueden obtener partiendo de la aplicación de los anteriores cinco axiomas aunque ello no sea evidente. Precisamente para aprender tales cosas los estudiantes de las escuelas de secundaria y bachillerato “queman” cientos de horas de su tiempo de estudio. A diferencia de los cincoo axiomas básicos de Euclides, no resulta tan evidente de buenas a primeras la validez absoluta del teorema de Pitágoras. Podemos hacer dos cosas: o podemos aprendernos de memoria dicho teorema aceptándolo sin discusión alguna como cierto confiando en que fue obtenido por alguna eminencia en la materia en la cual debemos creer ciegamente tan solo por su fama (desafortunadamente, esta es la práctica seguida en muchas escuelas que obligan a sus estudiantes a ir asimilando fórmulas al igual que a los pericos se les enseña a “hablar”), o podemos exigir que se nos muestre algú procedimiento detallado mediante el cual se puede obtener la fórmula (o conclusión final) del teorema de Pitágoras que nos dice que “en todo triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos”. Esto sí lo podemos poner en tela de duda pidiendo que se nos demuestre la manera en la cual se pueden llegar a tales “verdades geométricas”. Pero en el caso de los axiomas, como el que nos dice que por un punto solo pasa una línea recta, esto resulta tan evidente que parece imposible que pueda ser obtenido de enunciados más sencillos. Los axiomas son el punto de partida de todo lo que viene después (que puede ser bastante).

Bueno, en realidad, no todos los cinco axiomas de Euclides son tan “evidentes”. El quinto axioma, el postulado de las rectas paralelas, tal y como lo enunció Euclides, dice así:

“Si una recta al cortar a otras dos forma ángulos internos menores a un ángulo recto, esas dos rectas prolongadas indefinidamente se cortan del lado en el que están los ángulos menores que dos rectos.”

Esto ya no parece tan “evidente” para nuestro gusto, y parecería que debería ser posible obtenerlo a partir de algunas verdades más sencillas, como los anteriores cuatro axiomas. Pero resulta que es imposible obtenerlo a partir de los anteriores cuatro axiomas, nadie ha encontrado jamás la manera de lograr tal cosa, y se duda mucho que alguien la encuentre jamás. Pero si no se puede obtener de los cuatro axiomas anteriores, ¿no habrá por allí algún par de axiomas con los cuales se pueda deducir y demostrar el postulado de las rectas paralelas? Tampoco nadie ha podido encontrar tal cosa, y en ello se han aplicado los mejores matemáticos de todos los tiempos. Sin embargo, como no resulta una verdad tan “evidente”, por mucho tiempo se le dejó de considerar como un “axioma”, llamándolo en cambio postulado, en el sentido de que se trata de un axioma que no es tan “evidente” pero que de cualquier modo se debe tomar como axioma porque no nos queda de otra.

Durante mucho tiempo se creyó que el quinto axioma era superfluo y que debería poderse deducir de los cuatro axiomas anteriores. A primera vista, este enunciado parece algo complicado como para poder ser aceptado como una verdad absoluta sin requerir ninguna demostración para aceptar su validez, y por esta misma razón era conocido como un “postulado” y no como un “axioma”, siendo un postulado “casi casi un axioma” aunque no tan evidente, pero al fin y al cabo aceptado como un axioma. En los cursos introductorios de geometría Euclideana, el postulado de las paralelas frecuentemente es enunciado de otras maneras en las que nos es mejor conocido, como las siguientes:

• “Por un punto exterior a una recta solo es posible trazar una recta paralela a la recta dada”


• “Dos rectas paralelas nunca se tocan ni se encuentran (ni siquiera en el infinito)”

Los enunciados alternos son completamente equivalentes, aunque al principio cueste trabajo creerlo.  El postulado de las paralelas, tal y como lo pronunció Euclides, tiene la siguiente representación esquemática:

El postulado original de Euclides toma como punto de partida dos rectas que se supone paralelas, y una tercera recta que en un dibujo en un plano corta a las dos rectas paralelas. Si las rectas que son atravesadas son perfectamente paralelas, no es difícil convencerse viendo el dibujo de arriba que si la suma de los ángulos internos a y b es igual a 180 grados (o sea la suma de dos ángulos rectos, definido un ángulo recto como aquél que es exactamente igual a 90 grados) entonces las dos rectas jamás se encontrarán por más que se les extienda ya sea hacia arriba o hacia abajo yendo inclusive hasta el infinito. En pocas palabras, las rectas 1 y 2 jamás se encontrarán.

El enunciado nos dice de manera formal algo que damos por hecho: dos rectas paralelas nunca se encuentran. ¿Pero ni siquiera en el infinito? La división por cero ya nos hizo ver los resultados inesperados que se obtienen al meterse en cuestiones que tienen que ver con el infinito. Por la manera en la que está enunciado el quinto postulado, parece que debería ser posible derivarlo de axiomas o postulados más básicos, posiblemente los cuatro postulados que le preceden, removiendo la inquietud que nos pueda producir el tratar de extender la validez del postulado de las paralelas hasta el mismo infinito.

Sin duda alguna, Euclides habrá tratado de demostrar su quinto postulado a partir de otros enunciados más sencillos removiendo toda duda sobre la validez del mismo inclusive hasta el infinito. Pero no pudo, y así lo dejó poniéndolo en último lugar después de los primeros cuatro axiomas. Lo más que se podía lograr era enunciarlo de otras maneras, pero al final de cuentas imposibles de demostrar.

Podemos aceptar alegremente el postulado de las paralelas de Euclides tomándolo como una verdad absoluta, que al fin y al cabo ¿acaso no lo afirmó una autoridad en la materia, nadie menos que el mismo Euclides? Pero en las matemáticas no hay actos de fé, no se acepta ciegamente la validez de una aserción tan solo porque lo dijo una autoridad por respetable que sea. Si una aserción no puede ser demostrada a partir de principios más sencillos cuya veracidad es imposible poner en duda, entonces la aserción se toma como un postulado, y en casos más complicados se convierte en lo que llamamos una conjetura cuya validez o invalidez está pendiente de ser demostrada. Una de las conjeturas más famosas de todos los tiempos posiblemente lo sea el último teorema de Fermat que dice:

Si n es un número entero mayor que 2, entonces no existen números enteros positivos x, y y z, tales que se cumpla la igualdad:

xⁿ + yⁿ = zⁿ

Presumiblemente, esta igualdad matemática tiene validez hasta el mismo infinito. Es extraordinariamente difícil aceptar un enunciado así como un acto de fé. Siempre queda la duda de que tarde o temprano alguien con el suficiente tiempo y con una computadora lo suficientemente poderosa al alcance de su mano encontrará una combinación de tres números que le dará el golpe mortal al último teorema de Fermat. Solo en fechas recientes y recurriendo a las técnicas más sofisticadas en teoría de números ha sido posible probar la validez del último teorema de Fermat.

Por mucho tiempo después de Euclides, la validez del quinto postulado no fue puesta en tela de duda. Si trazamos dos rectas paralelas, y si tales rectas son perfectamente paralelas, no esperaríamos que tales rectas se pudieran tocar ni siquiera en el infinito; porque si tal cosa ocurriera entonces lo lógico sería suponer que desde un principio no eran perfectamente. ¿No es así?

En efecto, en una hoja de papel que podemos imaginar como un plano con una superficie infinita extendiéndose en todas las direcciones posibles, podemos trazar dos rectas manteniéndolas paralelas por siempre sin que se toquen jamás. ¿Pero que tal si la hoja de papel es puesta sobre una superficie esférica, como la superficie de la Tierra? Al hacer tal cosa, y al repetir el trazado de las líneas paralelas, eventualmente nos toparemos con una sorpresa sumamente desagradable: las líneas que suponemos paralelas se encuentran, y de hecho se encuentran en dos ocasiones en dos puntos diferentes, opuestos en el globo terráqueo.

¿Cómo es esto posible?

El problema fundamental estriba en el hecho de que mientras que en una superficie plana dos rectas paralelas efectivamente nunca se tocan, sobre la superficie de una esfera no hay manera de trazar dos rectas perfectamente paralelas que nunca se toquen. Lo primero que se nos puede ocurrir es que sobre la supeficie de una esfera podemos imaginar trazada una recta que coincide con la línea del Ecuador o línea ecuatorial, una recta que dicho sea de paso y a diferencia de la recta de Euclides que se extiende indefinidamente hasta el infinito en ambas direcciones con una longitud infinita, es una recta cerrada con una longitud ciertamente finita, grande pero finita. El siguiente paso consiste en trazar una recta que sea paralela a la recta que hacemos coincidir con el Ecuador, una recta que empieza a partir de un punto situado digamos a unos cien kilómetros arriba (o por debajo) de la línea del Ecuador. Al trazar nuestra recta paralela al Ecuador, con nuestra vara de medir podemos ir midiendo la distancia de tal manera que siempre se mantenga constante a cien kilómetros del Ecuador. Pero aquí surge otro hecho sorprendente. Si insistimos en mantener nuestra “recta” a una distancia constante de cien kilómetros del Ecuador, descubriremos que nuestra “recta” en realidad no es tan “recta” como creíamos, ya que localmente vemos que se va “torciendo” con una curvatura constante en cierta dirección sobre la misma superficie de la esfera (o sea no saliendo “hacia arriba” de la superficie de la esfera ni penetrando “hacia abajo” al interior del planeta). Entonces nuestra “recta” no es una línea “recta” sino una línea curva. Esto es algo que descubrimos localmente sin salir de nuestra recta al ir avanzando hacia adelante en el trazado manteniendo siempre una distancia constante hacia la línea del Ecuador. La única manera posible de eliminar la curvatura que vamos encontrando es “compensar” el trazado de la línea que vamos trazando dándole una curvatura en el sentido contrario, solo así de este modo podremos mantener nuestra línea recta como una línea perfectamente recta. Pero al hacer tal cosa, ya no es posible mantener una distancia constante de cien kilómetros a la línea del Ecuador, conforme avanza el trazado la distancia al Ecuador de nuestra línea perfectamente se va acortando más y más, hasta que eventualmente nuestra línea recta se encuentra con la línea del Ecuador, como puede apreciarse mejor en el siguiente diagrama en donde las dos rectas son resaltadas de color negro:

Quizá la mejor manera de convencerse de lo anterior es llevando a cabo el trazado de nuestra “recta paralela a la línea del Ecuador” empezando en algún punto muy cercano al Polo Norte, digamos a unos veinte metros del Polo Norte. Si insistimos en mantener una distancia constante de cien kilómetros a la línea del Ecuador, veremos que nuesta línea se “tuerce” (hacia la izquierda, sobre la superficie del globo terráqueo) con una curvatura pronunciada. Y si el criterio no es mantener una distancia constante de cien kilómetros a la línea del Ecuador sino ir trazando nuestra recta lo más “derecho” posible (o sea, lo más recta posible) sin curvatura alguna tal y como lo detectamos localmente con alguna vara larga que sea perfectamente recta, eliminando la curvatura, entonces la distancia hacia el Ecuador nuevamente se irá reduciendo hasta que ambas rectas trazadas sobre una superficie esférica eventualmente se encuentran. El encuentro es predecible e inevitable.

Lo anterior nos confirma que, sobre la superficie de una esfera, una línea verdaderamente recta tiene que ser parte de lo que se conoce como un arco de círculo máximo.

Si nos fijamos bien, más sorprendente resulta aún el hecho de que sobre la superficie de una esfera podemos trazar no una sino una cantidad infinitamente grande de rectas “paralelas” al Ecuador, todas las cuales eventualmente intersectan con el Ecuador tarde o temprano.

Para tratar de mantener la validez del quinto postulado original de Euclides, se nos puede ocurrir modificar la aserción original ampliándola a algo como lo siguiente.

“Si sobre una superficie plana (no esférica) una recta al cortar a otras dos forma ángulos internos menores a un ángulo recto, esas dos rectas prolongadas indefinidamente se cortan del lado en el que están los ángulos menores que dos rectos sobre la superficie plana.”

En realidad, estamos haciendo “trampa”. Se ha excluído deliberadamente una situación en la cual el quinto postulado de Euclides no se cumple, o sea el caso en el que la superficie usada para el trazado de las rectas no es plana sino esférica. Pero aún, en nuestro esfuerzo por salvar la idea original, el postulado de las paralelas de Euclides se ha convertido en un enunciado todavía más complejo. Y lo peor del caso, igualmente indemostrable. Lo único que hemos hecho ha sido imponer una restricción sobre la aplicabilidad y universalidad del postulado de las paralelas de Euclides, no hemos llevado a cabo simplificación alguna. Tal parece que estamos peor que al principio. Este tipo de consideraciones nos lleva invariablemente a sospechar que hay otros tipos de geometrías diferentes a la geometría original de Euclides con sus propios teoremas que son completamente válidos dentro de dichas geometrías. Eventualmente, todo esto es precisamente lo que dió origen a lo que hoy se conoce como geometrías no-Euclideanas.

Las sorpresas no paran aquí. Ya vimos que sobre la superficie de una esfera dos rectas paralelas (definidas como líneas pertenecientes a arcos de círculo máximos) siempre se encuentran. Pero si en vez de hacer el trazado de dos rectas paralelas sobre la superficie de una esfera lo hacemos sobre una superficie conocida como el paraboloide hiperbólico (el cual tiene la forma de una silla de montar), nos encontramos con el hecho sorprendente de que dos rectas paralelas (trazadas localmente como tales sobre la superficie de la silla de montar) nunca se encuentran.

Tenemos entonces tres postulados con consecuencias completamente diferentes:

“A través de un punto exterior a una recta dada se puede trazar una cantidad infinitamente grande de rectas paralelas a la recta dada” (cuando ambas son trazadas sobre una superficie esférica).

“A través de un punto exterior a una recta dada solo se puede trazar una recta paralela a la recta dada” (cuando son trazadas en una superficie plana).

“A través de un punto exterior a una recta dada no se puede trazar ninguna recta paralela a la recta dada” (cuando son trazadas en una superficie paraboloide).

¿Estaba entonces equivocado Euclides? Sorprendentemente, no. Estaba en lo correcto, partiendo del quinto postulado tal y como lo había enunciado para una superficie plana. Sin embargo, las otras dos alternativas, partiendo de postulados contradictorios con el quinto postulado de Euclides en su geometría plana, también dan lugar a geometrías igualmente consistentes y válidas con sus propios teoremas y conclusiones. Así como en la geometría Euclideana para superficies planas hay un teorema de Pitágoras y hay otro teorema que nos dice que “la suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a dos rectos (es decir, a 180 grados)”, de igual manera para una superficie esférica hay un símil del teorema de Pitágoras y un teorema que nos dice que “la suma de los ángulos interiores de un triángulo esférico es mayor que 180 grados y menor que 540 grados” (esto último se puede demostrar rigurosamente) dando pie a lo que se conoce como la trigonometría esférica.

¿Tres sistemas de geometrías perfectamente válidos, contradictorios el uno con el otro, pero plenamente consistentes en su interior? ¿Cómo puede ser esto posible? Pues lo es, y no solo no se pone ya en tela de duda, sino que la alternativa de una geometría diferente a la geometría de Euclides es lo que ha sido usado para el desarrollo de la Teoría General de la Relatividad de Alberto Einstein. Al menos en el mundo físico, tal cosa es una realidad que nadie cuestiona.

Ultimadamente, lo que debe preocuparnos no es que las conclusiones obtenidas dentro de cierta geometría sean diferentes e incluso completamente contradictorias con las conclusiones obtenidas en otra geometría. Lo que realmente debe preocuparnos es la posibilidad de que dentro de cierta geometría, sin salir de la misma para nada, partiendo del mismo conjunto de axiomas y postulados que la caracterizan, podamos llegar a dos conclusiones completamente diferentes y contradictorias. Un ejemplo de ello sería si dentro de la geometría plana usando su conjunto básico de axiomas y postulados obtuviéramos la demostración de un teorema que dijera “en todo triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos” (teorema de Pitágoras) y de otro teorema obtenido sin cometer error alguno u equivocación que dijera que “en todo triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa siempre será mayor que la suma de los cuadrados de los catetos”. Una contradicción interna de tal calibre sería más que suficiente para derrumbar el castillo, porque demostraría que tal geometría es inconsistente. Pero siendo la geometría una rama de las matemáticas, la pregunta se puede ampliar a una de mayor generalidad que desde hace tiempo les ha quitado el sueño a muchos matemáticos que han dedicado sus vidas al cultivo de dicha ciencia: ¿Son consistentes las matemáticas? Lo cual puesto bajo lupa equivale a formular la pregunta toral: ¿Se puede demostrar formalmente y con argumentos lógicos e irrebatibles que las matemáticas son consistentes?

III: Dificultades para probar la consistencia

La formalización de las matemáticas, dependiendo cada vez menos de aquello que llamamos intuición y “corazonadas”, condujo a una gran variedad de sistemas de interés matemático considerable con un valor extraordinario. Esta formalización acompañada de una abstracción creciente emancipó la mente de los hombres de las restricciones que la interpretación habitual de las expresiones establecía para la construcción de nuevos sistemas de postulados. Hicieron su aparición nuevas especies de álgebras y de geometrías que marcaron importantes desviaciones respecto de las matemáticas tradicionales. (El lector incluso tal vez habrá caído en la cuenta de que él mismo puede crear de la nada un sistema suyo propio inventando su propio conjunto de axiomas y definiciones para tal sistema). Hay que reconocer que algunos de estos nuevos sistemas basados en la formalización no se prestaban a interpretaciones tan evidentemente intuitivas, esto es, conformes al sentido común como las de la geometría euclideana o de la aritmética, aunque este hecho no ocasionó ninguna alarma. En rigor de verdad, eso que llamamos intuición es una facultad elástica. Las generaciones de hoy probablemente no encontrarán dificultad alguna en aceptar como intuitivamente evidentes las paradojas de la relatividad, del mismo modo que nosotros no retrocederemos ante ideas que eran consideradas completamente no intuitivas hace un par de generaciones. Además todos sabemos que la intuición no es una guía segura, no puede ser utilizada adecuadamente como criterio de verdad ni de fecundidad en las exploraciones científicas, aunque hay que reconocer que tiene sus méritos.

La formalización de las matemáticas con su creciente abstracción planteó un problema más serio. Suscitó la cuestión de si un determinado conjunto de postulados erigidos como bases de un sistema es internamente consistente, de tal modo que no puedan deducirse teoremas mutuamente contradictorios a partir de esos postulados. El problema no parece apremiante cuando se considera un conjunto de axiomas que versan sobre una especie concreta y conocida de objetos, ya que entonces no sólo es significativo preguntar sino que puede ser posible asegurarse de ello, si los axiomas son verdaderos referidos a tales objetos. Como se daba generalmente por supuesto que los axiomas euclideanos eran afirmaciones verdaderas respecto al espacio (o a los objetos en el espacio), ningún matemático anterior al siglo XIX se detuvo siquiera a considerar la cuestión de si podría deducirse algún día de tales axiomas un par de teoremas contradictorios. El fundamento de esta confianza en la consistencia de la geometría Euclideana es el principio de que no pueden ser simultáneamente verdaderas afirmaciones lógicamente incompatibles. Por consiguiente, si es verdadero un conjunto de afirmaciones (que es lo que se daba por supuesto en relación a los axiomas Euclideanos), esas afirmaciones deben ser mutuamente consistentes.

En contraste con la geometría Euclidena y su postulado de las paralelas, las geometrías no Euclideanas pertenecían a una categoría completamente diferente; al principio sus axiomas fueron considerados inicialmente como siendo respecto del espacio tridimensional que nos es conocido, y por este motivo dudosamente verdaderos respecto de cualquier otra cosa, por ello fue considerado notablemente arduo, a la par que decisivo, el problema de establecer la consistencia interna de los sistemas no Euclideanos. En la geometría Riemanniana, por ejemplo, el postulado de las paralelas de Euclides es sustituido por la hipótesis de que por un punto exterior a una línea no puede trazarse ninguna otra que sea paralela a ella. La pregunta clave que tenemos que hacernos es: ¿es consistente el conjunto riemanniano de postulados? Aparentemente, los postulados no son verdaderos referidos al espacio de la experiencia ordinaria. ¿Cómo puede entonces demostarse la consistencia de los postulados de Riemann? ¿Cómo puede demostrarse que no conducirán a teoremas contradictorios? La cuestión no queda resuelta por el hecho de que los teoremas ya deducidos no se contradicen entre sí, sino que subsiste la posibilidad de que el próximo teorema que se deduzca introduzca la manzana de la discordia en el sistema. Hasta que se resuelva esta cuestión no puede haber una certeza absoluta de que la geometría Riemanniana constituya una verdadera alternativa al sistema Euclideano, esto es, que sea igualmente válida matemáticamente. La posibilidad misma de la existencia de geomatrías no Euclideanas pasó así a depender de la resolución de este problema, el problema de la consistencia interna de dichas geometrías.

Fue así como se ideó un método general para la resolución del problema. La idea básica consiste en encontrar un “modelo” o “interpretación” para los postulados abstractos de un sistema, de tal modo que cada postulado se convierta en una afirmación verdadera respecto del modelo. En el caso de la geometría Euclideana, el modelo era el espacio ordinario que es de todos conocido. Se utilizó el método para encontrar otros modelos cuyos elementos pudiesen servir de puntos de apoyo para determinar la consistencia de postulados abstractos. El procedimiendo es el siguiente. Designamos con la palabra “clase” un conjunto o colección de objetos distintos, cada uno de los cuales recibe la denominación de miembro de la clase. A manera de ejemplo, la clase (conjunto) de los números primos menores de 20 es el conjunto cuyos miembros son 2, 3, 5 y 7, 11, 17 y 19. Considérese ahora la siguiente clase de postulados concernientes a dos clases M y N, cuya naturaleza concreta se deja indeterminada excepto en lo que resulta “implícitamente” definido a través de los siguientes postulados:

1. Dos miembros cualesquiera de M se hallan contenidos en un solo miembro de N.


2. Ningún miembro de M se halla contenido en más de dos miembros de N.


3. No todos los miembros de M se hallan contenidos en un único miembro de N.


4. Dos miembros cualesquiera de N contienen a un solo miembro de M.


5. Ningún miembro de N contiene a más de dos miembros de M

Aplicando las reglas concernientes de deducción, podemos derivar de este pequeño conjunto de postulados cierto número de teoremas. A manera de ejemplo puede demostrarse partiendo de los cinco postulados anteriores que M contiene únicamente tres miembros. Pero la pregunta fundamental que nos concierne es: ¿se halla dotado este conjunto de consistencia, hasta el punto de que nunca puedan deducirse de él teoremas mutuamente contradictorios? La interrogante se puede responder de inmediato con la ayuda del modelo geométrico que será descrito a continuación.

Sea M la clase de puntos que componen los vértices de un triángulo, y N la clase de líneas que forman los lados de dicho triángulo. La frase “un miembro de M se halla contenido en un miembro de N” se puede interpretar en el sentido de que un punto que es un vértice está situado en una línea que es un lado. Podemos corroborar que cada uno de los cinco postulados abstractos se convierte entonces en una afirmación verdadera, como en el caso del primer postulado que afirma a la luz de nuestra interpretación geométrica que dos puntos cualesquiera que sean vértices de un triángulo radican solamente en una misma línea que sea un lado. De este modo, queda demostrada (geométricamente) la consistencia del conjunto de postulados.

Procediendo de modo semejante, la consistencia de la geometría plana Riemanniana se puede demostrar a través de un modelo que encarnen los postulados. Podemos interpretar la expresión “plano” de los axiomas Riemannianos como significativa de una esfera Euclideana, podemos interpretar la expresión “línea recta” como un arco de círculo máximo de esta superficie esférica, y así sucesivamente. Cada postulado Riemanniano tiene entonces su contraparte en un teorema de Euclides. Así por ejemplo, de acuerdo a esta interpretación el postulado Riemanniano de las paralelas equivaldría al enunciado: “por un punto de la superficie de una esfera no puede trazarse ningún arco dado de círculo máximo paralelo a otro arco dado de círculo máximo”.

A primera vista puede parecer, concluyente esta prueba de la consistencia de la geometría Riemanniana. Pero si se examina en mayor detalle, surge el desconcierto, pues se descubre que el problema no ha sido resuelto, simplemente ha sido desplazado a otro terreno, ya que se intenta demostrar la consistencia de la geometría Riemanniana apelando a la consistencia de la geometría Euclideana. Lo único que se obtiene es que la geometría Riemanniana es consistente si es consistente la geometría Euclideana. Resulta así que se invoca la autoridad del mismo Euclides para demostrar la consistencia de un sistema, el Riemanniano, que discute la validez exclusiva de Euclides, lo cual nos lleva a la pregunta: ¿son consistentes por sí mismos los axiomas del sistema Euclideano? La respuesta tomada como cierta y “autoevidente”, consagrada por una tradición de milenios, era que los axiomas Euclideanos son incuestionablemente verdaderos, y por lo tanto tienen que ser (o deberían de ser) por ese solo hecho, consistentes. Esta respuesta que apela a la autoridad de Euclides ya no se considera aceptable. Otra contestación es que los axiomas de Euclides están de acuerdo con nuestra actual aunque limitada experiencia del espacio Euclideano en el que vivimos, y que por lo tanto se halla perfectamente justificado hacer una extrapolación de lo particular a lo universal, o sea usando la inducción en lugar de la deducción. Pero por muchas pruebas inductivas que puedan darse en apoyo de esta postura, nuestra mejor demostración sería lógicamente incompleta, pues aún cuando todos los hechos observados mantengan su concordancia con los axiomas, siempre subsiste la posibilidad de que un hecho hasta ahora inobservado pueda contradecirlos y así destruír su pretensión de universalidad. Lo más que pueden demostrar las consideracion inductivas es que los axiomas son plausibles, esto es, “probablemente” verdaderos.

Hubo un ensayo en otra dirección, emprendido por David Hilbert. Su idea básica se apoya en la geometría de las coordenadas Cartesianas. De acuerdo a la interpretación de Hilbert, los axiomas de Euclides se transforman en verdades algebraicas. De este modo, tomando los axiomas de la geometría plana, tal idea hace que la expresión “punto” signifique un par de números como (3,8), la expresión “línea recta” vendría siendo la relación lineal entre números expresada por una ecuación de primer grado, la expresión “círculo” vendría siendo una relación entre números expresada por una ecuación de segundo grado de cierta forma, y así sucesivamente. De este modo, la afirmación geométrica de que dos puntos distintos determinan solamente una línea recta se transforma entonces en la verdad algebraica de que dos pares distintos de números determinan solamente una relación lineal. Igualmente, el teorema geométrico de que una línea recta corta a un círculo en dos puntos como máximo tendría su contraparte algebraica en el teorema de que un par de ecuaciones simultáneas con dos incógnitas en donde una de las relaciones es lineal y la otra es de segundo grado de cierto tipo determinan dos pares de números reales como máximo, y así sucesivamente. Siendo así, la consistencia de los postulados Euclideanos aparentemente queda demostrada haciendo ver que satisfacen un modelo algebraico. Este método de demostrar la consistencia de los postulados de Euclides es válido y eficaz. Sin embargo, es también vulnerable a la objeción que ya ha sido expuesta, ya que aquí también se resuelve el problema planteado en un terreno, el terreno geométrico, desplazándolo a otro, el terreno algebraico. La argumentación de Hilbert en favor de la consistencia de los postulados geométricos de Euclides demuestra que si el álgebra es consistente entonces también lo será en su contraparte geométrica. La “prueba” se halla en una clara dependencia de la supuesta consistencia de otro sistema, y por lo tanto no es una prueba absoluta.

Hay otra dificultad en los variados intentos para resolver el problema de la consistencia, la cual radica en el hecho de que los axiomas son interpretados por modelos compuestos de un número infinito de elementos, lo cual hace imposible encerrar los modelos en un número finito de observaciones, y de allí que la verdad de los axiomas sea objeto de duda. En la argumentación inductiva presentada en favor de la geometría Euclideana un número finito de hechos observados acerca del espacio se hallan presumiblemente de acuerdo con los axiomas. Pero la conclusión que se trata de demostrar implica una extrapolación de una serie finita de datos a otra infinita. ¿Cómo es posible justificar el salto de lo finito hacia lo infinito? La dificultad queda minimizada, si no completamente eliminada, en aquellos lugares en donde puedan idearse modelos que contengan solamente un número limitado de elementos. El modelo triangular utilizado arriba para demostrar la consistencia de los cinco postulados abstractos referidos a las clases M y N es finito; y es relativamente sencillo determinar por medio de una inspección visual si todos los elementos del modelo satisfacen realmente a los postulados, y por consiguiente si son verdaderos. A modo de ejemplo, si examinamos sucesivamente todos los vértices del modelo triangular puede comprobarse si se cumple el enunciado de que dos cualesquiera de ellos radican únicamente en un solo lado, con lo que queda demostrado como verdadero el primer postulado. Puesto que todos los elementos del modelo así como las relaciones relevantes existentes entre ellos se prestan a una inspección exhaustiva y directa, y puesto que es prácticamente nula la probabilidad de que se produzcan errores al inspeccionarlos, la consistencia de los cinco postulados no suscita duda alguna.

Sin embargo, la mayoría de los sistemas de postulados que constituyen los fundamentos de numerosas e importantes ramas de las matemáticas no pueden ser reflejados en modelos finitos. Considérese el axioma de la aritmética elemental que afirma que todo número entero tiene un sucesor inmediato distinto de todo otro número anterior. Resulta evidente que el modelo necesario para comprobar el conjunto a que pertenece este postulado no puede ser finito, sino que debe contener una infinidad de elementos. De ello se desprende que la verdad y por lo tanto la consistencia del conjunto no puede demostrarse mediante una inspección exhaustiva de un número limitado de elementos. Hemos llegado al parecer a un callejón sin salida. Los modelos finitos bastan, en principio, para demostrar la consistencia en ciertos conjuntos de postulados; pero se trata de conjuntos de postulados que tienen muy escasa importancia matemática. Los modelos no finitos, necesarios para la interpretación de la mayoría de los sistemas de postulados matemáticamente importantes, sólo pueden ser descritos en términos generales; y no es posible dar por sentado que las descripciones se puedan hallar exentas de contradiccines ocultas que aún no han salido a la luz.

Al llegar aquí se presenta la tentación de sugerir que podemos estar seguros de la consistencia de las formulaciones en que se describen los modelos no finitos si las nociones básicas empleadas son transparentemente “claras” y “distintas”. Pero la historia del pensamiento no ha solido admitir la doctrina de las ideas “claras y distintas” ni admitir la teoría del conocimiento intuitivo implícita en la sugerencia. En ciertas zonas de la investigación matemática en que las hipótesis acerca de los conjuntos infinitos desempeñan un papel importante han surgido contradicciones radicales, pese a la intuitiva claridad de las nociones implicadas en las hipótesis y pese al carácter aparentemente consistente de las construcciones intelectuales realizadas. Contradicciones de este tipo denominadas técnicamente antinomias han aparecido una y otra vez en la teoría de los números transfinitos desarrollada por Georg Cantor en el siglo XIX; y la presencia de estas contradicciones ha hecho evidente que la aparente claridad de ni siquiera una noción tan elemental como la de clase (o conjunto) garantiza la consistencia de cualquier sistema concreto que se edifique sobre ella. Puesto que la teoría matemática de las clases que versa sobre las propiedades y relaciones de los agregados o colecciones de elementos es frecuentemente adoptada como fundamento para otras ramas de las matemáticas, y en particular para la aritmética, es oportuno plantearse la cuestión de si no se hallarán afectadas las formulaciones de otras partes de las matemáticas similares a las encontradas en la teoría de las clases infinitas.

IV: En búsqueda de pruebas de consistencia

Por dos milenios, se creyó que el gran pensador griego Aristóteles había dicho ya todo lo que se pudiera decir sobre lógica, y se creía que a la lógica aristotélica no había absolutamente nada más que agregarle. No fue sino hasta principios del siglo XIX que hubo nuevas perspectivas sobre conceptos que Aristóteles no había tomado en cuenta y ni siquiera había considerado, conceptos que posteriormente incorporados al diseño de máquinas de cálculo como la máquina analítica de Charles Babbage trajeron consigo los fundamentos necesarios para la construcción de máquinas basadas en microelectrónica que están detonando la revolución informática que la humanidad está viviendo en estos momentos. Los nuevos conceptos en lógica empezaron de hecho con las observaciones formuladas por George Boole, lo cual vino aparejado con el desarrollo de las nuevas herramientas teóricas que permitían sistematizar, o “mecanizar” si así se insiste en llamarle, todos los procedimientos de las matemáticas convirtiendo a la “reina de las ciencias” en algo que podía ser desarrollado por máquinas programadas para combinar ciegamente y sin discusión alguna las premisas básicas o axiomas.

Pese a que la gran mayoría de las publicaciones profesionales en el campo de las matemáticas cumplen con ciertos niveles mínimos de rigor profesional, adolecen de lo que pudiera considerarse una omisión mayúscula en el formalismo, ya que incorporan principios o reglas de deducción no formuladas explícitamente que la mayoría de las veces pasan inadvertidas por los matemáticos. Un ejemplo de ello es el teorema de Euclides que nos dice que el conjunto de los números primos  es infinitamente grande, o puesto de otra manera “no existe un número primo que sea mayor que todos los números primos posibles” (un número como 17 es primo si no es exactamente divisible sin residuo más que entre sí mismo y 1). El núcleo de la argumentación está basado en lo que se conoce como una reducción al absurdo, y va de la manera siguiente. Supóngasee, en contradicción con el teorema que se está tratando de demostrar, que existe un número primo máximo que llamaremos X. Los pasos de la demostración son entonces:

1) X es un número primo máximo.

2) Fórmese el producto de todos los números primos menores o iguales, y agrégese 1 al producto, con lo cual obtenemos un nuevo número:

   Y = (2 × 3 × 5 × 7 × 11 × … × X) + 1

3) Si Y es un número primo, entonces X NO es el mayor número primo posible ya que Y es evidentemente mayor que X.

4) Si Y es un número compuesto, o sea un número no-primo, entonces tampoco X es el mayor número primo, porque si Y es compuesto entonces tiene que haber un divisor primo Z y X tiene que ser distinto de cada uno de los números primos 2, 3, 5, 7, 11, …, X, menor o igual a X. Por lo tanto, Z tiene que ser un número primo mayor que X.

5) Pero Y, o es primo, o es compuesto.

6) Por lo tanto, X no es el mayor número primo.

7) Se concluye entonces que no existe ningún número primo que sea el mayor de todos.

Se han enunciado únicamente los eslabones principales de la demostración del teorema de Euclides. Todo parece muy obvio, “autoevidente”. Sin embargo, para forjar lo que pudiera llamarse la cadena completa de la demostración se requiere de un gran número de reglas de deducción que no aparecen arriba pero que son tácitamente aceptadas por los matemáticos sin discusión alguna. Algunas de las reglas de deducción ausentes en la demostración pertenecen a la parte más elemental de la lógica formal, mientras que otras pertenecen a ramas más avanzadas como las que incorporan reglas y teoremas que pertenecen a lo que se conoce como la teoría de la cuantificación que hace referencia a las relaciones entre proposiciones que contienen partículas cuantificadoras tales como “todos”, “algunos” y sus sinónimos. Veamos como muestra un teorema elemental de la lógica y una regla de deducción, cada uno de los cuales es participante indispensable pero silencioso en la demostración. Tómese el punto 5 dado arriba para probar el teorema de Euclides: “pero Y, o es primo, o es compuesto”. ¿De dónde sale tal conclusión? La respuesta es que proviene del teorema lógico (o verdad necesaria) que dice:

“o p o no p”

en el que se denomina p a una variable proposicional que puede ser “Y es un número primo” o la negación de la misma “Y no es un número primo”. ¿Y cómo se obtiene pues el punto número 5 del teorema? Pues utilizando la regla de deducción lógica conocida como la regla de sustitución para variables proposicionales según la cual una proposición puede obtenerse de cualquiera otra que contenga variables de este tipo sustituyendo por cualquier proposición (en este caso, “Y es un número primo”) cada representación de una variable distinta (en este caso la variable p). El uso de estas reglas y de estos teoremas lógicos es frecuentemente una acción mecánica casi por completo inconsciente, y el análisis que los saca a flote aún tratándose de demostraciones tan relativamente sencillas como la del teorema de Euclides se fundamente en progresos logrados en la lógica en el último siglo. Al igual que Monsieur Jourdain en la obra El burgués gentilhombre de Moliere que hablaba en prosa sin darse cuenta de ello, los matemáticos han estado razonando a lo largo de dos milenios sin darse cuenta de todos los principios que subyacían debajo de lo que estaban haciendo, y solo en tiempos recientes se ha vuelto evidente la naturaleza de las herramientas de su oficio.

Como se dijo al principio, durante casi dos mil años la codificación de Aristóteles de las formas válidas de deducción fue universalmente aceptada como completa e incapaz de poder ser mejorada y perfeccionada, a grado tal que en 1787 el filósofo Emmanuel Kant autor de la Crítica de la razón pura afirmó que desde Aristóteles “la lógica formal no ha sido capaz de avanzar un solo paso y, según todas las apariencias, es un cuerpo de doctrina cerrado y completo”. Sin embargo la realidad era otra, ya que la lógica aristotélica tradicional es notoriamente incompleta y hasta deja de dar una explicación a muchos principios de deducción empleados en razonamientos matemáticos totalmente elementales, trayendo como consecuencia indeseable el caer frecuentemente en paradojas de todo tipo pese a la aplicación rigurosa de procedimientos matemáticos en los cuales no había aparentemente error humano alguno. No fue sino hasta 1847 con la publicación de The Mathematical Analysis of Logic de George Boole que comenzó un renacimiento de los estudios lógicos. La intención primordial de Boole y sus seguidores inmediatos era desarrollar un álgebra de la lógica que suministrase una notación precisa para poder manejar tipos más generales y variados de deducción que los abarcados por los principios tradicionales lógicos de la vieja escuela aristotélica. Considérese un ejemplo en el que se observa que en cierta universidad aquellos que logran obtener mención honorífica en su examen de grado son los muchachos jóvenes que destacan en matemáticas y las muchachas jóvenes que no destacaron en la materia. ¿Cómo se forma la clase de destacados en matemáticas en relación a las otras clases de estudiantes? Si recurriemos únicamente a la lógica tradicional, la respuesta no surge de inmediato. Pero recurriendo al álgebra de Boole se puede demostrar con facilidad que la clase de destacados en matemáticas se compone exactamente de muchachos jóvenes graduados con mención honorífica y de muchachas graduadas sin mención honorífica.

El siguiente avance vino cuando se trató de exhibir a las matemáticas puras como un capítulo de la lógica formal, y tal avance vino a resultas de esfuerzos para tratar de liberar a las matemáticas de paradojas e inconsistencias, esfuerzo epitomizado precisamente en los Principia Mathematica de Whitehead y Russell. De este modo, los matemáticos de finales del siglo XIX y principios del siglo XX consiguieron “aritmetizar” el álgebra y lo que solía llamarse el “cálculo infinitesimal” que pródigamente maneja conceptos que tienen que ver con cuestiones infinitamente grandes e infinitamente pequeñas pese a los riesgos que implica todo análisis matemático que tenga que ver con cuestiones del infinito. Así pues, se demostró que las diversas nociones empleadas en el análisis matemático son definibles en términos exclusivamente aritméticos y con operaciones aritméticas realizadas con ellos. De este modo, en vez de aceptar al número imaginario:

√-1

como un concepto casi místico rodeado de cierto misterio (la palabra “imaginario” lo dice todo) quedó definido como el par ordenado de números enteros (0,1) sobre el cual se llevan a cabo ciertas operaciones de “adición” y “multiplicación”. En forma parecida, el número irracional (la palabra “irracional” lo dice todo, algo fuera de la razón y el sentido común tal y como lo entendían los antiguos griegos):

√2 

 quedó definido como una cierta clase de números racionales, la clase de números racionales cuyo cuadrado es menor que 2. Lo que Russell y Whitehead trataban de demostrar era que (y antes de ellos, el matemático Gottlob Frege) era que todas las nociones aritméticas pueden ser definidas en ideas estrictamente lógicas y que todos los axiomas de la aritmética pueden ser deducidos de un pequeño número de proposiciones básicas certificables oomo verdades estrictamete lógicas.

De este modo, la noción de “clase” pertenece a la lógica general. Dos clases son definidas como “semejantes” si se puede establecer una correspondencia biunívoca entre sus miembros, siempre y cuando se pueda explicar la noción de tal correspondencia acudiendo a otras ideas lógicas. Si una clase que tiene un solo miembro se dice de ella que es una “clase unidad” (por ejemplo, la clase de satélites del planeta Tierra). El número cardinal 1 puede ser definido como la clase de todas las clases semejantes a una clase unidad, y se pueden dar definiciones análogas de los otros números cardinales. Del mismo modo, las diversas operaciones aritméticas pueden ser definidas en términos de la lógica formal. Una proposición matemática como la siguiente:

1 + 1 = 2

puede ser entonces exhibida como la transcripción condensada de una proposición que contiene expresiones concernientes únicamente a la lógica general, pudiendo demostrarse que tales proposiciones estrictamente lógicas pueden ser deducidas de ciertos axiomas lógicos. En su momento Principia Mathematica pareció adelantar lo que parecía ser la solución final del problema de la consistencia de los sistemas matemáticos y en particular de la aritmética mediante el expediente de reducir el problema al de la consistencia de la lógica formal misma, porque si los axiomas de la aritmética son simples transcripciones de teoremas de la lógica, entonces la cuestión de si dichos axiomas son consistentes es equivalente a la cuestión de si son consistentes los axiomas fundamentales de la lógica.

Pese a lo que pudiera creerse, la tesis de que las matemáticas son únicamente un mero capítulo de la lógica no han obtenido por razones de detalla una aceptación universal por parte de los matemáticos. Por otro lado, subsiste el riesgo de que las contradicciones (o antinomias) de la teoría cantoriana de los números transfinitos puedan terminar resultando reproducidas dentro de la lógica misma a no ser que se toman precauciones especiales y extraordinarias para evitar tan desagradable resultado. Sin embargo, subsiste la duda: ¿son adecuadas todas las precauciones tomadas en la obra Principia Mathematica para excluír todas las formas de construcciones auto-contradictorias como las que vemos en las antinomias? Tal cosa no se puede asegurar de una manera concluyente. Por estas mismas razones la reducción de la aritmética a la lógica implementada por Russell y Whitehead y antes de ellos por Frege no proporciona una respuesta final al problema de la consistencia de las matemáticas.

De cualquier modo, prescindiendo de la validez de la tesis que intenta la reducción de las matemáticas a un capítulo de la lógica, hay en los Principia Mathematica dos elementos que poseen un enorme valor para el estudio de la cuestión de la consistencia de las matemáticas. Los Principia Mathematica suministran un sistema notablemente comprensivo de notación lógica con cuya ayuda se vuelve posible codificar en términos de la lógica formal todas las proposiciones de las matemáticas puras (en particular, de la aritmética), a la vez que se muestra de una manera explícita la mayoría de las reglas de deducción formal utilizadas en las demostraciones matemáticas, reglas que fueron completadas y dotadas de una mayor precisión. En pocas palabras, los Principia Mathematica proporcionaron el instrumento esencial para la investigación de todo el sistema de la aritmética como un cálculo no-interpretado, esto es, como un sistema de signos carentes de significado cuyas fórmulas (o hileras o cadenas) se combinan y transforman de acuerdo con reglas operativas precisas. Es por estas mismas razones que Kurt Gödel usó a Principia Mathematica como punto de referencia para investigar el problema de la consistencia de las matemáticas empezando por lo más elemental de las matemáticas que es la aritmética, reducido todo a la pregunta central: ¿es consistente la aritmética para un sistema axiomático que sea lo suficientemente potente para generar los números naturales? Y para esto último se contaba ya con un punto de partida en la axiomatización de la aritmética, los axiomas de Peano.