Pese a que la gran mayoría de las publicaciones profesionales en el campo de las matemáticas cumplen con ciertos niveles mínimos de rigor profesional, adolecen de lo que pudiera considerarse una omisión mayúscula en el formalismo, ya que incorporan principios o reglas de deducción no formuladas explícitamente que la mayoría de las veces pasan inadvertidas por los matemáticos. Un ejemplo de ello es el teorema de Euclides que nos dice que el conjunto de los números primos es infinitamente grande, o puesto de otra manera “no existe un número primo que sea mayor que todos los números primos posibles” (un número como 17 es primo si no es exactamente divisible sin residuo más que entre sí mismo y 1). El núcleo de la argumentación está basado en lo que se conoce como una reducción al absurdo, y va de la manera siguiente. Supóngasee, en contradicción con el teorema que se está tratando de demostrar, que existe un número primo máximo que llamaremos X. Los pasos de la demostración son entonces:
1) X es un número primo máximo.Se han enunciado únicamente los eslabones principales de la demostración del teorema de Euclides. Todo parece muy obvio, “autoevidente”. Sin embargo, para forjar lo que pudiera llamarse la cadena completa de la demostración se requiere de un gran número de reglas de deducción que no aparecen arriba pero que son tácitamente aceptadas por los matemáticos sin discusión alguna. Algunas de las reglas de deducción ausentes en la demostración pertenecen a la parte más elemental de la lógica formal, mientras que otras pertenecen a ramas más avanzadas como las que incorporan reglas y teoremas que pertenecen a lo que se conoce como la teoría de la cuantificación que hace referencia a las relaciones entre proposiciones que contienen partículas cuantificadoras tales como “todos”, “algunos” y sus sinónimos. Veamos como muestra un teorema elemental de la lógica y una regla de deducción, cada uno de los cuales es participante indispensable pero silencioso en la demostración. Tómese el punto 5 dado arriba para probar el teorema de Euclides: “pero Y, o es primo, o es compuesto”. ¿De dónde sale tal conclusión? La respuesta es que proviene del teorema lógico (o verdad necesaria) que dice:
2) Fórmese el producto de todos los números primos menores o iguales, y agrégese 1 al producto, con lo cual obtenemos un nuevo número:
Y = (2 × 3 × 5 × 7 × 11 × … × X) + 1
3) Si Y es un número primo, entonces X NO es el mayor número primo posible ya que Y es evidentemente mayor que X.
4) Si Y es un número compuesto, o sea un número no-primo, entonces tampoco X es el mayor número primo, porque si Y es compuesto entonces tiene que haber un divisor primo Z y X tiene que ser distinto de cada uno de los números primos 2, 3, 5, 7, 11, …, X, menor o igual a X. Por lo tanto, Z tiene que ser un número primo mayor que X.
5) Pero Y, o es primo, o es compuesto.
6) Por lo tanto, X no es el mayor número primo.
7) Se concluye entonces que no existe ningún número primo que sea el mayor de todos.
“o p o no p”
en el que se denomina p a una variable proposicional que puede ser “Y es un número primo” o la negación de la misma “Y no es un número primo”. ¿Y cómo se obtiene pues el punto número 5 del teorema? Pues utilizando la regla de deducción lógica conocida como la regla de sustitución para variables proposicionales según la cual una proposición puede obtenerse de cualquiera otra que contenga variables de este tipo sustituyendo por cualquier proposición (en este caso, “Y es un número primo”) cada representación de una variable distinta (en este caso la variable p). El uso de estas reglas y de estos teoremas lógicos es frecuentemente una acción mecánica casi por completo inconsciente, y el análisis que los saca a flote aún tratándose de demostraciones tan relativamente sencillas como la del teorema de Euclides se fundamente en progresos logrados en la lógica en el último siglo. Al igual que Monsieur Jourdain en la obra El burgués gentilhombre de Moliere que hablaba en prosa sin darse cuenta de ello, los matemáticos han estado razonando a lo largo de dos milenios sin darse cuenta de todos los principios que subyacían debajo de lo que estaban haciendo, y solo en tiempos recientes se ha vuelto evidente la naturaleza de las herramientas de su oficio.
Como se dijo al principio, durante casi dos mil años la codificación de Aristóteles de las formas válidas de deducción fue universalmente aceptada como completa e incapaz de poder ser mejorada y perfeccionada, a grado tal que en 1787 el filósofo Emmanuel Kant autor de la Crítica de la razón pura afirmó que desde Aristóteles “la lógica formal no ha sido capaz de avanzar un solo paso y, según todas las apariencias, es un cuerpo de doctrina cerrado y completo”. Sin embargo la realidad era otra, ya que la lógica aristotélica tradicional es notoriamente incompleta y hasta deja de dar una explicación a muchos principios de deducción empleados en razonamientos matemáticos totalmente elementales, trayendo como consecuencia indeseable el caer frecuentemente en paradojas de todo tipo pese a la aplicación rigurosa de procedimientos matemáticos en los cuales no había aparentemente error humano alguno. No fue sino hasta 1847 con la publicación de The Mathematical Analysis of Logic de George Boole que comenzó un renacimiento de los estudios lógicos. La intención primordial de Boole y sus seguidores inmediatos era desarrollar un álgebra de la lógica que suministrase una notación precisa para poder manejar tipos más generales y variados de deducción que los abarcados por los principios tradicionales lógicos de la vieja escuela aristotélica. Considérese un ejemplo en el que se observa que en cierta universidad aquellos que logran obtener mención honorífica en su examen de grado son los muchachos jóvenes que destacan en matemáticas y las muchachas jóvenes que no destacaron en la materia. ¿Cómo se forma la clase de destacados en matemáticas en relación a las otras clases de estudiantes? Si recurriemos únicamente a la lógica tradicional, la respuesta no surge de inmediato. Pero recurriendo al álgebra de Boole se puede demostrar con facilidad que la clase de destacados en matemáticas se compone exactamente de muchachos jóvenes graduados con mención honorífica y de muchachas graduadas sin mención honorífica.
El siguiente avance vino cuando se trató de exhibir a las matemáticas puras como un capítulo de la lógica formal, y tal avance vino a resultas de esfuerzos para tratar de liberar a las matemáticas de paradojas e inconsistencias, esfuerzo epitomizado precisamente en los Principia Mathematica de Whitehead y Russell. De este modo, los matemáticos de finales del siglo XIX y principios del siglo XX consiguieron “aritmetizar” el álgebra y lo que solía llamarse el “cálculo infinitesimal” que pródigamente maneja conceptos que tienen que ver con cuestiones infinitamente grandes e infinitamente pequeñas pese a los riesgos que implica todo análisis matemático que tenga que ver con cuestiones del infinito. Así pues, se demostró que las diversas nociones empleadas en el análisis matemático son definibles en términos exclusivamente aritméticos y con operaciones aritméticas realizadas con ellos. De este modo, en vez de aceptar al número imaginario:
√-1
como un concepto casi místico rodeado de cierto misterio (la palabra “imaginario” lo dice todo) quedó definido como el par ordenado de números enteros (0,1) sobre el cual se llevan a cabo ciertas operaciones de “adición” y “multiplicación”. En forma parecida, el número irracional (la palabra “irracional” lo dice todo, algo fuera de la razón y el sentido común tal y como lo entendían los antiguos griegos):
√2
quedó definido como una cierta clase de números racionales, la clase de números racionales cuyo cuadrado es menor que 2. Lo que Russell y Whitehead trataban de demostrar era que (y antes de ellos, el matemático Gottlob Frege) era que todas las nociones aritméticas pueden ser definidas en ideas estrictamente lógicas y que todos los axiomas de la aritmética pueden ser deducidos de un pequeño número de proposiciones básicas certificables oomo verdades estrictamete lógicas.
De este modo, la noción de “clase” pertenece a la lógica general. Dos clases son definidas como “semejantes” si se puede establecer una correspondencia biunívoca entre sus miembros, siempre y cuando se pueda explicar la noción de tal correspondencia acudiendo a otras ideas lógicas. Si una clase que tiene un solo miembro se dice de ella que es una “clase unidad” (por ejemplo, la clase de satélites del planeta Tierra). El número cardinal 1 puede ser definido como la clase de todas las clases semejantes a una clase unidad, y se pueden dar definiciones análogas de los otros números cardinales. Del mismo modo, las diversas operaciones aritméticas pueden ser definidas en términos de la lógica formal. Una proposición matemática como la siguiente:
1 + 1 = 2
puede ser entonces exhibida como la transcripción condensada de una proposición que contiene expresiones concernientes únicamente a la lógica general, pudiendo demostrarse que tales proposiciones estrictamente lógicas pueden ser deducidas de ciertos axiomas lógicos. En su momento Principia Mathematica pareció adelantar lo que parecía ser la solución final del problema de la consistencia de los sistemas matemáticos y en particular de la aritmética mediante el expediente de reducir el problema al de la consistencia de la lógica formal misma, porque si los axiomas de la aritmética son simples transcripciones de teoremas de la lógica, entonces la cuestión de si dichos axiomas son consistentes es equivalente a la cuestión de si son consistentes los axiomas fundamentales de la lógica.
Pese a lo que pudiera creerse, la tesis de que las matemáticas son únicamente un mero capítulo de la lógica no han obtenido por razones de detalla una aceptación universal por parte de los matemáticos. Por otro lado, subsiste el riesgo de que las contradicciones (o antinomias) de la teoría cantoriana de los números transfinitos puedan terminar resultando reproducidas dentro de la lógica misma a no ser que se toman precauciones especiales y extraordinarias para evitar tan desagradable resultado. Sin embargo, subsiste la duda: ¿son adecuadas todas las precauciones tomadas en la obra Principia Mathematica para excluír todas las formas de construcciones auto-contradictorias como las que vemos en las antinomias? Tal cosa no se puede asegurar de una manera concluyente. Por estas mismas razones la reducción de la aritmética a la lógica implementada por Russell y Whitehead y antes de ellos por Frege no proporciona una respuesta final al problema de la consistencia de las matemáticas.
De cualquier modo, prescindiendo de la validez de la tesis que intenta la reducción de las matemáticas a un capítulo de la lógica, hay en los Principia Mathematica dos elementos que poseen un enorme valor para el estudio de la cuestión de la consistencia de las matemáticas. Los Principia Mathematica suministran un sistema notablemente comprensivo de notación lógica con cuya ayuda se vuelve posible codificar en términos de la lógica formal todas las proposiciones de las matemáticas puras (en particular, de la aritmética), a la vez que se muestra de una manera explícita la mayoría de las reglas de deducción formal utilizadas en las demostraciones matemáticas, reglas que fueron completadas y dotadas de una mayor precisión. En pocas palabras, los Principia Mathematica proporcionaron el instrumento esencial para la investigación de todo el sistema de la aritmética como un cálculo no-interpretado, esto es, como un sistema de signos carentes de significado cuyas fórmulas (o hileras o cadenas) se combinan y transforman de acuerdo con reglas operativas precisas. Es por estas mismas razones que Kurt Gödel usó a Principia Mathematica como punto de referencia para investigar el problema de la consistencia de las matemáticas empezando por lo más elemental de las matemáticas que es la aritmética, reducido todo a la pregunta central: ¿es consistente la aritmética para un sistema axiomático que sea lo suficientemente potente para generar los números naturales? Y para esto último se contaba ya con un punto de partida en la axiomatización de la aritmética, los axiomas de Peano.
