“La ciencia puede imponer límites a nuestros conocimientos,
pero no debe imponer límites a nuestra imaginación.”
Bertrand Russell
Los alcances del trabajo de Gödel van más allá de las matemáticas y alcanzan campos como el de la teoría de la computación. La incompletitud descubierta por Gödel en el seno de la aritmética eventualmente condujo a las sospechas de que pudieran existir funciones imposibles de ser calculadas por ninguna computadora digital que pudiera ser construída por el ser humano. Esto fue lo que motivó al matemático inglés Alan Turing a investigar qué funciones eran susceptibles de poder ser calculadas y cuáles no, para lo cual concibió una máquina hoy conocida como la Máquina de Turing, una máquina de propósito general mediante la que formalizó las funciones y procedimientos de cálculo, con la cual Turing demostró que existían funciones que no eran posibles de calcular mediante su máquina, y por ende tampoco por máquina computacional alguna. El paradigma de este conjunto de funciones lo representa una función que plantea la pregunta: "dada una Máquina de Turing, ¿produce ésta un resultado en una cantidad finita de tiempo, o por el contrario, se queda calculando indefinidamente?", función conocida con el nombre de problema de parada (Halting Problem) que es una pieza fundamental para demostrar la incomputabilidad de ciertas funciones.
En lo que toca al campo de la inteligencia artificial, el resultado de las investigaciones de Gödel lleva invariablemente a la cuestión de si puede construírse una máquina calculadora que pueda equipararse en inteligencia matemática al cerebro humano. Todas las computadoras actuales poseen en su interior un conjunto de instrucciones o directivas que se corresponden con las reglas de deducción del procedimiento axiomático formalizado. Todas estas computadoras contestan por pasos medidos a los problemas a los problemas que les son planteados, y cada uno de estos pasos medidos se halla controlado por las directivas o instrucciones que se les ha metido a las máquinas. Pero como demostró Gödel en su teorema de incompletitud, existen muchos problemas de la teoría elemental de los números que caen fuera del territorio de un método axiomático fijo, problemas que tales máquinas son incapaces de poder resolver por ingeniosos y elaborados que puedan ser sus circuitos y sus mecanismos y por rápidas que puedan ser sus operaciones. Dado un determinado problema, puede construírse una máquina que lo resuelva, como el caso de la supercomputadora Deep Blue que es capaz de poder resolver un juego de ajedrez escogiendo la major partida ganadora. Pero no puede construírse una máquina que pueda resolver todos los problemas. Nuestros cerebros se encuentran afectados de limitaciones inherentes al mismo y se pueden presentar problemas matemáticos que sea incapaz de poder resolver, pero de cualquier modo el cerebro humano parece incorporar a través de sus redes neuronales una estructura de reglas de operación mucho más poderosa que la estructura de las máquinas artificiales. <u>No existe nada que nos permita suponer que pueda haber en el futuro a mediano plazo, y tal vez ni siquiera a largo plazo, una próxima sustitución de la mente humana por robots.
Roger Penrose alguna vez afirmó que la (presunta) diferencia entre lo que se puede probar mecánicamente (paso a paso, ya sea escribiendo cada paso en un pizarrón o programar a una máquina para que haga el trabajo por nosotros) partiendo de un conjunto finito de axiomas y lo que los humanos pueden ver “desde arriba” como algo cierto nos demuestra que la inteligencia humana no es una cosa meramente mecánica en su naturaleza. Esta facultad que posee el cerebro humano y la cual no se le ha podido transferir hasta la fecha a ningún aparato mecánico creado por el hombre es lo que vuelve real la posibilidad de poder “entender” y poder manejar conceptos y cosas que en un sistema axiomático formalizado son imposibles de demostrar.
Marvin Minsky, uno de los pioneros en el campo de la inteligencia artificial, alguna vez planteó el omnipresente dilema de que la inteligencia humana es capaz de errar y de “comprender” declaraciones y afirmaciones que son en realidad inconsistentes o falsas. Él lo debe saber mejor que nadie, puesto que elaboró un trabajo con Seymour Papert titulado Perceptrons: an introduction to computational geometry en donde ambos autores demostraron con pleno rigor matemático que un modelo elemental de las redes neuronales, el perceptrón (modelo inspirado a su vez en el funciomaniento de las neuronas biológicas del cerebro humano) propuesto por psicólogo y neurobiólogo Frank Rosenblatt, era incapaz de poder reconocer e identificar ni siquiera las letras más elementales del alfabeto. El libro de Minsky y Papert, que fue en realidad una crítica dirigida al modelo neuronal de Rosenblatt, propinó un golpe duro a los esfuerzos para tratar de modelar y crear máquinas de cálculo y computadoras basadas no en la lógica binaria mecánica con la que se empezaron a desarrollar las computadoras de aquél entonces sino en la forma en la cual se supone que funcional el cerebro humano. Después de todo, cuando nosotros sumamos 2 y 3 en nuestra mente obteniendo 5 como respuesta, no lo hacemos poniendo en movimiento algunos engranes y tuercas en nuestro cerebro que mecanicamente proporcionen la respuesta, tal cosa la llevan a cabo nuestras neuronas cerebrales de una manera presumiblemente más compleja. Matemáticamente hablando, la crítica propinada por Minsky a la propuesta de Rosenblatt (el cual no era un matemático de profesión) estaba justificada, aunque no el retraso de varios años causado a las investigaciones que se pudieran haber dado en tal campo. En realidad, Rosenblatt no estaba tan equivocado. La limitación de su modelo se debía al hecho de que era la propuesta de una red neuronal lineal. Sin embargo, si en vez de utilizar una red neuronal lineal se recurre al modelo de una red neuronal no-lineal la cosa cambia por completo, y se pueden construír modelos de máquinas basadas en redes neuronales a las cuales –al igual que como ocurre con los humanos- se les puede someter a un proceso de aprendizaje tras el cual pueden lograr lo que los perceptrones de Rosenblatt no podían: poder reconocer las letras del alfabeto, e inclusive mucho más. Sin embargo, esto eleva enormemente la complejidad del problema y hasta la fecha pese a los avances logrados se tiene la certeza de que no se ha comprendido ni se ha explorado más que un infinitésimo de los secretos que las redes neuronales no lineares encierran. Después de todo, el depósito de nuestra consciencia, el depósito de nuestras memorias personales, el depósito de nuestros instintos y de todo lo que somos está codificado en una gigantesca red neuronal llamada cerebro que a diferencia de las computadoras que tienen que ser programadas se pueden ir “programando” por sí solas tras un largo proceso de aprendizaje que eventualmente puede producir mentes como las de Mozart, Picasso, Einstein y Newton. Tiempo después Seymour Papert eventualmente reconoció su falta de visión y la de Marvin Minsky cuando dijo (“One AI or Many?” Daedalus, volumen 117, número 1, Invierno 1988, p. 4-5):
Érase una vez que... dos ciencias hijas le nacieron a la nueva ciencia de la cibernética. Una hermana era natural, con características heredadas del estudio del cerebro, de la manera en la que la Naturaleza hace las cosas. La otra era artificial, relacionada desde el principio al uso de computadoras. Cada una de las ciencias hermanas trató de construír modelosde inteligencia, pero de materiales muy difíciles. La hermana natural construyó sus modelos (llamados redes neuronales) a partir de neuronas purificadas matemáticamente. La hermana artificial construyó sus modelos a base de programas computacionales.Marvin Minsky tuvo el privilegio de conocer a Kurt Gödel en persona, y según Minsky a él le dijo Kurt Gödel en persona que él creía que los seres humanos tienen una forma intuitiva, no solamente computacional, de poder llegar a la verdad y que por lo tanto su teorema no limitaba lo que puede llegar a ser sabido como cierto por los humanos.
En su primer despertar de juventud ambas fueron igualmente exitosas e igualmente procuradas por pretendientes salidos de otros campos de conocimiento. Se llevaban bien. Su relación cambió al inicio de los sesentas cuando apareció un nuevo monarca, uno con los más grandes cofres jamás vistos en el reino de las ciencias: Lord DARPA, la Agencia de Proyectos de Investigación Avanzados de Defensa. La hermana artificial se puso envidiosa y estaba decidida a quedarse para sí el acceso a los fondos para investigación de Lord DARPA. La hermana natural tendría que ser sacrificada.
El trabajo sangriento fue intentado por dos seguidores férreos de la hermana artificial, Marvin Minsky y Seymour Papert, puestos en el papel de cazadores enviados para acabar con Blanca Nieves y traer consigo su corazón como prueba del hecho. Su arma no fue la daga sino la aún más poderosa pluma, de la cual salió un libro Perceptrons que pretendía probar que las redes neuronales jamás podrían cumplir con la promesa de construír modelos de la mente: solo los programas computacionales podían hacer esto. La victoria parecía asegurada para la hermana artificial. Y en efecto durante la siguiente década todas las recompensas del reino llegaron a au progenie, de la cual la familia de sistemas expertos logró lo mejor en fama y fortuna.
Pero Blanca Nieves no estaba muerta. Lo que Minsky y Papert le habían mostrado al mundo como prueba no era el corazón de una princesa; era el corazón de un cerdo.
Es importante reflexionar en el hecho de que la mente de Kurt Gödel que fue capaz de descubrir que era imposible demostrar mediante un sistema axiomático formal la consistencia de las matemáticas no era una máquina pre-programada mecánicamente con un conjunto definido de aximomas y procedimientos, sino una máquina computacional “natural” que por su misma naturaleza y modo de operación fue capaz de poder “subir” por encima de las limitaciones impuestas por los procedimientos axiomáticos formales para poder “ver desde arriba” un panorama mucho más amplio que el que una computadora mecánica programable hubiera podido vislumbrar. Ultimadamente, la lógica formal salió de la mente humana operando no en base a un conjunto de axiomas y procedimientos sino en base a una red neuronal compleja llamada cerebro, y no al revés.
El teorema de Gödel no debe tomarse como algo que nos haga caer en la desesperanza ante la imposibilidad de poder demostrar formalmente la consistencia de las matemáticas, ni como un pretexto para dejarnos caer en el laberinto del misterio. El hallazgo de que hay verdades aritméticas para las cuales no hay ni habrá jamás demostración formal posible dentro del ámbito de la lógica no implica que existan verdades que habrán de permanecer en una imposibilidad perpetua de poder ser conocidas, ni implica que la prueba convincente tendrá que ser reemplazada por alguna especie de “intuición mística” de naturaleza radicalmente distinta a la que usualmente funciona en los progresos del intelecto humano. No implica que existan límites ineluctables a la razón humana. Lo que sí significa es que los recursos del intelecto humano no han sido y posiblemente nunca podrán ser plenamente formalizados, manteniéndose abierta la posibilidad de que se puedan descubrir nuevos formas de demostración. Esto se vuelve más comprensible al repasar el hecho de que las proposiciones metamatemáticas que no pueden ser demostradas por deducción formal pueden sin embargo ser demostradas mediante un razonamiento metamatemático “informal”. No se debe pretender que estas verdades formalmente indemostrables establecidas por argumentos metamatemáticos no se basan en algo más que la intuición.
Del mismo modo, las limitaciones inherentes a todas las máquinas calculadoras y todas las computadoras en general tampoco implican que no podamos esperar a llegar a una explicación de la materia viva y de la razón humana en términos físicos y químicos. La posibilidad de que puedan encontrarse tales explicaciones no se encuentra excluida ni afirmada por el teorema de incompletitud de Gödel. El teorema y su demostración revelan que la estructura y la potencia de la mente humana son mucho más complejas y sutiles que cualquier máquina que se haya construído hasta la fecha, y la misma obra de Gödel es un ejemplo prominente de esa sutileza y complejidad, lo cual es un motivo no para el desaliento sino para una mayor apreciación de los poderes de la razón creadora que no debe ser subestimada.
Cualquier procedimiento axiomático formalizado se basa en un conjunto inicialmente fijo y determinado de axiomas y reglas de transformación. La propia argumentación de Gödel nos revela que no es posible trazar ningún límite previo a la inventiva de los matemáticos en la concepción de nuevas reglas y métodos de prueba. Por esto mismo, no es posible dar ninguna descripción definitiva de la forma lógica precisa de las demostraciones matemáticas válidas. No se sabe a ciencia cierta si puede enunciarse una omnicomprensiva definición de la verdad lógica o matemática, o si como el mismo Gödel parecía creer, solo un realismo filosófico absoluto del viejo tipo platónico podría suministrar una definición adecuada. Se trata de problemas filosóficos profundos de elevada complejidad aún no resueltos. Aquí cabe mencionar que el realismo platónico que en cierto modo fue un precursor del positivismo propone la idea de que las matemáticas no crean ni inventan sus “objetos” sino que simplemente se les descubre al igual que como Cristobal Colón descubrió América. Con o sin Colón, el continente americano ya estaba allí listo para ser descubierto por alguien. Si esto es cierto, entonces tales “objetos” de las matemáticas deben de tener en cierto sentido una “existencia” anterior a su descubrimiento. De acuerdo a la doctrina platónica, los objetos del estudio matemático no se encuentran ubicados dentro del orden natural del espacio-tiempo, se trata de formas eternas incorpóreas que habitan en un mundo distinto y que son accesibles únicamente al intelecto. De acuerdo con este punto de vista, las formas triangulares o circulares de los cuerpos físicos que son perceptibles por nuestros sentidos no constituyen los objetos verdaderos de las matemáticas, ya que se trata simplemente de encarnaciones imperfectas de un indivisible triángulo “perfecto” o un círculo “perfecto” que es increado y el cual no se encuentra jamás plenamente manifestado por las cosas materiales y únicamente puede ser captado o imaginado por la mente exploradora de los matemáticos. Gödel parecía sostener un punto de vista parecido cuando decía: “Las clases y los conceptos pueden... ser concebidos como objetos reales... existentes con independencia de nuestras definiciones y consrucciones. Yo creo que la hipótesis de tales objetos es tan legítima como la de los cuerpos físicos y que hay las mismas razones para creer en su existencia”.
Es de llamar la atención el hecho de que Kurt Gödel, el hombre que demostró formalmente con un razonamiento impecable que ha resistido el paso del tiempo que si la aritmética es consistente entonces es incompleta y hay “verdades” aritméticas cuya veracidad o falsedad es imposible de ser demostrada dentro de la aritmética misma, logró demostrar la existencia de Dios mediante una argumentación rigurosamente formal. Este es un tema que se sale del alcance de esta obra, y del cual se pueden encontrar otras referencias en Blogger, por lo que no será tratado muy a fondo.
Para todos aquellos que dudan en la existencia de un Ser Supremo creador de todo lo habido y por haber, y sobre todo para todos aquellos que encuadran en cualquiera de las categorías de filósofos materialistas, ateos incrédulos, positivistas y demás idem, lo más irónico sería el que un Supremo Hacedor en su sapiencia les hubiera puesto a su disposición una prueba científica, en el sentido formal y riguroso de la palabra, de su existencia, pero imponiéndoles también como una especie de castigo el tener que asimilar en forma casi obligatoria una cantidad casi extraordinaria de conocimientos y consumir años y años de vida dedicada al estudio de tecnicismos nada fáciles de asimilar, para poder llegar a Él. Afortunadamente, y viendo por el resto de los hombres, el Supremo Hacedor sin duda alguna puso otro medio para poder llegar a Él sin necesidad de tener que quebrarse la cabeza consumiendo varias décadas de vida en el el esfuerzo leyendo cientos de tratados avanzados de matemáticas y lógica, un medio disponible incluso a los más pequeños de edad que empiezan a tener uso de razón desde su tierna infancia. Tal medio se llama la fé. Que dicho sea de paso, no puede ser racionalizada y reducida a un simple conjunto de axiomas y procedimientos. Tomaremos la naturaleza de su origen como algo “formalmente indecidible”.
