Hemos llegado al punto ideal para poner de relieve la manera en la cual puede ser formalizada una pequeña porción de los Principia Mathematica, empleando lo que se conoce como la lógica elemental de las proposiciones. Y en el recorrido desarrollaremos una prueba absoluta de consistencia. La notación simbólica empleada en el desarrollo de la lógica formal ha tenido cambios desde que Russell y Whitehead escribieron el Principia Mathematica, pero resulta deseable adherirse a la notación original para facilitar la lectura no solo de los Principia Mathematica sino lo que descubrió el mismo Kurt Gödel.
La formalización se llevará a cabo en cuatro etapas:
1) En primer lugar se preparará un catálogo completo de los signos que se habrán de utilizar en el cálculo proposicional, con lo cual tendremos el vocabulario que necesitamos.Designaremos como “prueba” o “demostración” formal una serie finita de fórmulas cada una de las cuales es un axioma o puede ser derivada de otras fórmulas anteriores de la serie mediante el uso de las reglas de transformación (de lo cual se infiere de inmediato que los axiomas también deben ser contados entre los teoremas).
2) En segundo lugar se estableceráan las reglas de formación, las cuales declaran qué combinaciones de signos del vocabulario pueden ser aceptadas como “fórmulas” (o sea, como proposiciones lógicas). Podemos considerar a las reglas como constitutivas de la “gramática” del sistema que nos permiten escribir en forma correcta las fórmulas sin “errores de ortografía” lógica.
3) En tercer lugar se establecen las reglas de transformación que describen la estructura precisa de las fórmulas de las cuales pueden derivarse otras fórmulas de estructura determinada, las cuales en Castellano puro y simple podemos llamar las “reglas de deducción”.
4) En cuarto lugar, finalmente, se seleccionan ciertas fórmulas como axiomas o “fórmulas primitivas” que sirven de fundamento a todo el sistema, usando la expresión “teorema del sistema” para designar cualquier fórmula que pueda ser derivada de los axiomas aplicando sucesivamente las reglas de transformación.
En la lógica de las proposiciones, también conocida como “cálculo sentencial”, el vocabulario o lista de signos elementales debe ser extremadamente sencillo, y está constituído por signos constantes y variables. Las variables pueden ser reemplazadas por sentencias y por esta misma razón reciben el nombre de “variables sentenciales”. Se acostumbra usar letras del alfabeto latino tales como:
‘p’, ‘q’, ‘r’, etcétera
Considérese la siguiente proposición que simbolizaremos como p:
“La capital de España es Madrid”
De acuerdo a la lógica bivalente, una proposición puede ser FALSA (F) o VERDADERA (V), pero no puede ser falsa y verdadera al mismo tiempo. La negación de la proposición que simbolizamos de la siguiente manera:
~p
se debe leer en Castellano como:
“La capital de España no es Madrid”
¿Y que de aquellos casos en los cuales una proposición no parece ser completamente falsa ni completamente verdadera por haber algo que pudiera considerarse “intermedio”? Considérese el blanco y el negro. Algo que no es blanco puede ser negro, y si no es negro puede ser blanco. Pero también ese “algo” puede no ser lo uno ni lo otro, como en el caso del gris. Siendo así, todo lo que hay que hacer es ampliar el conjunto de proposiciones para incluír una proposición adicional en la que se afirme o se niegue que algo pueda ser gris. ¿Y qué en el caso de que haya muchos tonos distinguibles de gris? Pues igualmente se amplía el conjunto de proposiciones para que la lógica bivalente se pueda seguir aplicando rigurosamente, de modo tal que si hay diez mil tonos distinguibles de gris se podrán formular diez mil proposiciones diferentes, una para cada tonalidad de gris. Y si metemos en el panorama el conjunto de los colores del arco iris, la cantidad posible de proposiciones aumentará considerablemente, pero la base se mantiene firme: una proposición lógica tiene que ser necesariamente falsa o verdadera, pero no puede ser ambas cosas al mismo tiempo.
Hay otros tipos de lógica, en donde resalta lo que se conoce como la lógica difusa, en donde una proposición puede ser parcialmente falsa y parcialmente verdadera ¡al mismo tiempo! Curiosamente, este tipo de lógica es algo que usamos en muchas situaciones de la vida en donde hay incertidumbre, como cuando vemos (por ejemplo) en el pronóstico del tiempo que “hay un 60 por ciento de probabilidades de lluvia”. En un caso así, la negación difusa sería “hay un 40 por ciento de probabilidades de que no haya lluvia”.
Afortunadamente, en lo que tiene que ver con las matemáticas, no hay admisión posible de ninguna lógica difusa. Un enunciado matemático tiene que ser falso o verdadero, pero no hay manera en la que pueda ser falso o verdadero al mismo tiempo.
| Signo | Significado |
~
|
no (negación) |
∨
|
o |
⊃
|
Si... entonces... (implicación) |
∧
|
y |
Los signos de puntuación son los paréntesis de apertura y de cierre, o sea ‘(’ y ‘)’ respectivamente.
Las reglas de formación están diseñadas de modo tal que las combinaciones de signos elementales que normalmente tendrían forma de proposiciones se llamen fórmulas. Igualmente, cada variable sentencial vale como una fórmula.
Si la letra ‘M’ representa una fórmula, su negación formal:
~(M)
es también una fórmula.
De forma análoga, si W1 y W2 son fórmulas, también lo son:
(W1) ∨ (W2)
(W1) ⊃ (W2)
(W1) ∧ (W2)
Cada una de las siguientes expresiones lógicas es una fórmula:
‘p’
‘~(p)’
‘(p) ⊃ (q)’
‘((q) > (r)) ⊃ (p)’
‘(p)(~(q))’
‘((p) ⊃ (q) ∨’
La primera no es una fórmula porque si bien ‘(p)’ y ‘(~(q))’ son fórmulas, no hay ningún enlace sentencial entre ellas. La segunda expresión tampoco lo es porque el enlace ‘∨’ no está flanqueado a derecha e izquierda por una fórmula como lo exigen las reglas.
La conjunción de las proposiciones p y q hoy se escribe como p ∧ q en lugar de p.q, y el símbolo de implicación → es utilizado hoy en lugar del símbolo ⊃ usado por Russell y Whitehead. Con esto en mente, simbolizando como p y como q respectivamente a las proposiciones:
“x es un número cardinal igual a 2”
“el cuadrado de x es un número cardinal igual a 4”
p → q
p ⊃ q
que en Castellano viene siendo:
Si “x es un número cardinal igual a 2” entonces “el cuadrado de x es un número cardinal igual a 4”Los logistas contemporáneos se refieren a las las cuatro funciones fundamentales de las proposiciones en el Principia Mathematica como conectivos lógicos porque “conectan” dos proposiciones p y q. A las proposiciones ‘p’, ‘q’, ‘r’, … hoy se les conoce como proposiciones elementales y a las proposiciones construídas a partir de proposiciones elementales usando conectores lógicos se les conoce como proposiciones compuestas, mientras que a enunciados de la forma p → q se les conoce como enunciados condicionales o simplemente condicionales.
Puesto que cada una de las las tres proposiciones elementales p, q y r pueden ser falsas o verdaderas, el valor lógico de falso o verdadero que pueda tomar el enunciado:
(p → (q → r)) → ((∼p ∨ ∼q) → r)
dependerá de todas las combinaciones posibles de falsos y verdaderos que puedan tomar los tres predicados elemenatales, habiendo ocho posibilidades en total. De cualquier modo, el enunciado anterior en todo momento solo puede tomar un valor de falso o verdadero.
Hay sutilezas finas que al principio pueden causar confusión. En la actualidad se usa el siguiente símbolo:
≡
para decir de la siguiente manera:
p ≡ q
que dos proposiciones p y q son equivalentes. Sin embargo esto no debe confundirse con el bicondicional:
p ↔ q.
que debe leerse como un condicional de dos vías que representa los siguientes dos enunciados:
p → q
q → p
y el cual debe leerse en Castellano como “si y solo si”. Un ejemplo de ello sería el enunciado:
“x es igual a 2 si y solo si el cuadrado de x es igual a 4”
que representa los siguientes dos enunciados:
“Si x es igual a 2 entonces el cuadrado de x es igual a 4”
“Si el cuadrado de x es igual 4 entonces x es igual a 2”
Dicho sea de paso, este ejemplo del bicondicional tendría un valor lógico de FALSO, porque si bien es cierto que el primer enunciado “si x es igual a 2 entonces el cuadrado de x es igual a 4” es verdadero, el segundo enunciado “si el cuadrado de x es igual a 4 entonces x es igual a 2” es FALSO en el caso de que x originalmente haya sido un número negativo. En matemáticas, un número negativo elevado al cuadrado siempre produce un número positivo, de modo tal que teniendo cierto número dicho número por sí solo no nos dice si antes de haber sido elevado al cuadrado era positivo o negativo.
Es así como podemos construír enunciados que expresan cosas tales como las leyes conmutativas:
p ∨ q ≡ q ∨ p ________ p ∧ q ≡ q ∧ p
así como las leyes asociativas:
(p ∨ q) ∨ r ≡ p ∨ (q ∨ r) _______ (p ∧ q) ∧ r ≡ p ∧ (q ∧ r)
y las leyes distributivas:
p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)
Con la notación que ha sido descrita, podemos hablar en términos de la lógica clásica sobre lo que se conoce como las leyes de DeMorgan (estas dos leyes son un ejemplo clásico de algo que no podría haber sido obtenido o expresado fácilmente con la lógica aristotélica de hace dos mil años):
∼(p ∨ q) ≡ ∼p ∧ ∼q
∼(p ∧ q) ≡ ∼p ∨ ∼q
Podemos “comprobar” la veracidad de las leyes de De Morgan construyendo una tabla de verdad dándole todos los valores posibles de “falso” y “verdadero” a las proposiciones p y q comparando tras esto que las tablas obtenidas para ambas equivalencias sean idénticas. Sin embargo, esto no es considerado usualmente una prueba formal y rigurosa en el sentido estricto de la palabra. En la lógica clásica, una demostración formal y rigurosa prescinde por completo del uso de tablas de verdad.
Cuando un predicado lógico involucra dos proposiciones lógicas que pueden ser distintas, se le conoce como un predicado binario. Por ejemplo, el predicado binario P(x,y) que representa la afirmación “x es paralelo a y”.
En lógica formal se cuenta también con el uso de los cuantificadores, los cuales pueden ser universales para lo cual se utiliza el símbolo “∀” que se lee como “para todo”, o existenciales para lo cual se utiliza el símbolo “∃” que se lee como “existe un”, de modo tal que se tiene lo siguiente:
(∀x) significa “para todo x”
(∃x) significa “existe un x”
Así pues, el siguiente enunciado:
(∀x)(x + 1 es mayor que x)
se lee como “para todo x el número x+1 es mayor que x”, o el enunciado:
(∃x)(x es el sucesor de 5)
que se lee como “existe un x tal que x es el sucesor de 5”.
Todas las proposiciones lógicas expresadas mediantes simbolismos se pueden leer en Castellano usando ejemplos concretos, aunque si se hiciera tal cosa los tratados académicos que emplean lógica formal seguramente ocuparían 500 páginas en lugar de tres o cuatro. La taquigrafía simbólica es una cuestión de conveniencia e inclusive necesaria.
Considérese el predicado binario P(x,y) que representa la afirmación “x es paralelo a y”. Entonces las siguientes fórmulas lógicas:
(∀x)(P(x, x))
(∀x)(∀y)(P(x, y) → P(y, x))
(∀x)(∀y)(∀z)((P(x, y) ∧ P(y, z)) → P(x, z))
se pueden transcribir al Castellano como:
“para todo x, x es paralelo a x”
“para todo x y para todo y si x es paralelo a y entonces y es paralelo a x”
“para todo x y para todo y y para todo z si x es paralelo a y y y es paralelo a z entonces x es paralelo a z”
Tal vez el lector quiera echar un vistazo a una de las cientos de páginas de la obra Principia Mathematica para darse una idea de cómo se desarrolla dicha obra. He aquí un extracto de la obra:
Esta es tan solo una pequeña muestra de lo que viene siendo la conclusión lógica de que:
1 + 1 = 2
pasando por alto el hecho de que para poder llegar a esta conclusión en la obra original la conclusión es precedida por cientos de páginas en donde se introducen numerosas definiciones. Esta complejidad es el precio que se tiene que pagar cuando se quiere asentar a las matemáticas sobre bases completamente sólidas que nunca conducirán a paradojas. Lo cual, desde luego, no demuestra que las matemáticas sean consistentes.
Las matemáticas abarcan un campo muy amplio con materias tan diversas como las ecuaciones diferenciales parciales, el análisis de Fourier, la teoría de las variables complejas, la transformada de Laplace, la teoría de grupos, en fin, una cantidad enorme de material. ¿Es necesario tratar de demostrar la consistencia de las matemáticas en todas esas ramas diversas para demostrar que las matemáticas son consistentes? Sorprendentemente, no. Puesto que la base de todas esas ramas sofisticadas de las matemáticas es a fin de cuentas la aritmética, basta con investigar tal cuestión limitándose exclusivamente a la aritmética, con la certeza de que si no es posible poder demostrar la consistencia de las matemáticas en su pilar fundamental que es la aritmética, tampoco será posible lograr tal cosa elevando el nivel de complejidad.
Se han mencionado arriba únicamente los elementos básicos de la lógica formal. Pero aprenderse las letras del alfabeto no basta para saber leer y escribir en algún idioma; esto último requiere de muchas horas de práctica y dedicación. Para que el lector tenga una idea del grado de sofisticación involucrado en la elaboración de un tratado profesional de lógica formal, a continuación se reproduce completa una de las páginas del Principia Mathematica, la página 91, advirtiéndosele al lector que el resto de las páginas del Principia están igual de “fáciles” de leer:
