III: Dificultades para probar la consistencia

La formalización de las matemáticas, dependiendo cada vez menos de aquello que llamamos intuición y “corazonadas”, condujo a una gran variedad de sistemas de interés matemático considerable con un valor extraordinario. Esta formalización acompañada de una abstracción creciente emancipó la mente de los hombres de las restricciones que la interpretación habitual de las expresiones establecía para la construcción de nuevos sistemas de postulados. Hicieron su aparición nuevas especies de álgebras y de geometrías que marcaron importantes desviaciones respecto de las matemáticas tradicionales. (El lector incluso tal vez habrá caído en la cuenta de que él mismo puede crear de la nada un sistema suyo propio inventando su propio conjunto de axiomas y definiciones para tal sistema). Hay que reconocer que algunos de estos nuevos sistemas basados en la formalización no se prestaban a interpretaciones tan evidentemente intuitivas, esto es, conformes al sentido común como las de la geometría euclideana o de la aritmética, aunque este hecho no ocasionó ninguna alarma. En rigor de verdad, eso que llamamos intuición es una facultad elástica. Las generaciones de hoy probablemente no encontrarán dificultad alguna en aceptar como intuitivamente evidentes las paradojas de la relatividad, del mismo modo que nosotros no retrocederemos ante ideas que eran consideradas completamente no intuitivas hace un par de generaciones. Además todos sabemos que la intuición no es una guía segura, no puede ser utilizada adecuadamente como criterio de verdad ni de fecundidad en las exploraciones científicas, aunque hay que reconocer que tiene sus méritos.

La formalización de las matemáticas con su creciente abstracción planteó un problema más serio. Suscitó la cuestión de si un determinado conjunto de postulados erigidos como bases de un sistema es internamente consistente, de tal modo que no puedan deducirse teoremas mutuamente contradictorios a partir de esos postulados. El problema no parece apremiante cuando se considera un conjunto de axiomas que versan sobre una especie concreta y conocida de objetos, ya que entonces no sólo es significativo preguntar sino que puede ser posible asegurarse de ello, si los axiomas son verdaderos referidos a tales objetos. Como se daba generalmente por supuesto que los axiomas euclideanos eran afirmaciones verdaderas respecto al espacio (o a los objetos en el espacio), ningún matemático anterior al siglo XIX se detuvo siquiera a considerar la cuestión de si podría deducirse algún día de tales axiomas un par de teoremas contradictorios. El fundamento de esta confianza en la consistencia de la geometría Euclideana es el principio de que no pueden ser simultáneamente verdaderas afirmaciones lógicamente incompatibles. Por consiguiente, si es verdadero un conjunto de afirmaciones (que es lo que se daba por supuesto en relación a los axiomas Euclideanos), esas afirmaciones deben ser mutuamente consistentes.

En contraste con la geometría Euclidena y su postulado de las paralelas, las geometrías no Euclideanas pertenecían a una categoría completamente diferente; al principio sus axiomas fueron considerados inicialmente como siendo respecto del espacio tridimensional que nos es conocido, y por este motivo dudosamente verdaderos respecto de cualquier otra cosa, por ello fue considerado notablemente arduo, a la par que decisivo, el problema de establecer la consistencia interna de los sistemas no Euclideanos. En la geometría Riemanniana, por ejemplo, el postulado de las paralelas de Euclides es sustituido por la hipótesis de que por un punto exterior a una línea no puede trazarse ninguna otra que sea paralela a ella. La pregunta clave que tenemos que hacernos es: ¿es consistente el conjunto riemanniano de postulados? Aparentemente, los postulados no son verdaderos referidos al espacio de la experiencia ordinaria. ¿Cómo puede entonces demostarse la consistencia de los postulados de Riemann? ¿Cómo puede demostrarse que no conducirán a teoremas contradictorios? La cuestión no queda resuelta por el hecho de que los teoremas ya deducidos no se contradicen entre sí, sino que subsiste la posibilidad de que el próximo teorema que se deduzca introduzca la manzana de la discordia en el sistema. Hasta que se resuelva esta cuestión no puede haber una certeza absoluta de que la geometría Riemanniana constituya una verdadera alternativa al sistema Euclideano, esto es, que sea igualmente válida matemáticamente. La posibilidad misma de la existencia de geomatrías no Euclideanas pasó así a depender de la resolución de este problema, el problema de la consistencia interna de dichas geometrías.

Fue así como se ideó un método general para la resolución del problema. La idea básica consiste en encontrar un “modelo” o “interpretación” para los postulados abstractos de un sistema, de tal modo que cada postulado se convierta en una afirmación verdadera respecto del modelo. En el caso de la geometría Euclideana, el modelo era el espacio ordinario que es de todos conocido. Se utilizó el método para encontrar otros modelos cuyos elementos pudiesen servir de puntos de apoyo para determinar la consistencia de postulados abstractos. El procedimiendo es el siguiente. Designamos con la palabra “clase” un conjunto o colección de objetos distintos, cada uno de los cuales recibe la denominación de miembro de la clase. A manera de ejemplo, la clase (conjunto) de los números primos menores de 20 es el conjunto cuyos miembros son 2, 3, 5 y 7, 11, 17 y 19. Considérese ahora la siguiente clase de postulados concernientes a dos clases M y N, cuya naturaleza concreta se deja indeterminada excepto en lo que resulta “implícitamente” definido a través de los siguientes postulados:

1. Dos miembros cualesquiera de M se hallan contenidos en un solo miembro de N.


2. Ningún miembro de M se halla contenido en más de dos miembros de N.


3. No todos los miembros de M se hallan contenidos en un único miembro de N.


4. Dos miembros cualesquiera de N contienen a un solo miembro de M.


5. Ningún miembro de N contiene a más de dos miembros de M

Aplicando las reglas concernientes de deducción, podemos derivar de este pequeño conjunto de postulados cierto número de teoremas. A manera de ejemplo puede demostrarse partiendo de los cinco postulados anteriores que M contiene únicamente tres miembros. Pero la pregunta fundamental que nos concierne es: ¿se halla dotado este conjunto de consistencia, hasta el punto de que nunca puedan deducirse de él teoremas mutuamente contradictorios? La interrogante se puede responder de inmediato con la ayuda del modelo geométrico que será descrito a continuación.

Sea M la clase de puntos que componen los vértices de un triángulo, y N la clase de líneas que forman los lados de dicho triángulo. La frase “un miembro de M se halla contenido en un miembro de N” se puede interpretar en el sentido de que un punto que es un vértice está situado en una línea que es un lado. Podemos corroborar que cada uno de los cinco postulados abstractos se convierte entonces en una afirmación verdadera, como en el caso del primer postulado que afirma a la luz de nuestra interpretación geométrica que dos puntos cualesquiera que sean vértices de un triángulo radican solamente en una misma línea que sea un lado. De este modo, queda demostrada (geométricamente) la consistencia del conjunto de postulados.

Procediendo de modo semejante, la consistencia de la geometría plana Riemanniana se puede demostrar a través de un modelo que encarnen los postulados. Podemos interpretar la expresión “plano” de los axiomas Riemannianos como significativa de una esfera Euclideana, podemos interpretar la expresión “línea recta” como un arco de círculo máximo de esta superficie esférica, y así sucesivamente. Cada postulado Riemanniano tiene entonces su contraparte en un teorema de Euclides. Así por ejemplo, de acuerdo a esta interpretación el postulado Riemanniano de las paralelas equivaldría al enunciado: “por un punto de la superficie de una esfera no puede trazarse ningún arco dado de círculo máximo paralelo a otro arco dado de círculo máximo”.

A primera vista puede parecer, concluyente esta prueba de la consistencia de la geometría Riemanniana. Pero si se examina en mayor detalle, surge el desconcierto, pues se descubre que el problema no ha sido resuelto, simplemente ha sido desplazado a otro terreno, ya que se intenta demostrar la consistencia de la geometría Riemanniana apelando a la consistencia de la geometría Euclideana. Lo único que se obtiene es que la geometría Riemanniana es consistente si es consistente la geometría Euclideana. Resulta así que se invoca la autoridad del mismo Euclides para demostrar la consistencia de un sistema, el Riemanniano, que discute la validez exclusiva de Euclides, lo cual nos lleva a la pregunta: ¿son consistentes por sí mismos los axiomas del sistema Euclideano? La respuesta tomada como cierta y “autoevidente”, consagrada por una tradición de milenios, era que los axiomas Euclideanos son incuestionablemente verdaderos, y por lo tanto tienen que ser (o deberían de ser) por ese solo hecho, consistentes. Esta respuesta que apela a la autoridad de Euclides ya no se considera aceptable. Otra contestación es que los axiomas de Euclides están de acuerdo con nuestra actual aunque limitada experiencia del espacio Euclideano en el que vivimos, y que por lo tanto se halla perfectamente justificado hacer una extrapolación de lo particular a lo universal, o sea usando la inducción en lugar de la deducción. Pero por muchas pruebas inductivas que puedan darse en apoyo de esta postura, nuestra mejor demostración sería lógicamente incompleta, pues aún cuando todos los hechos observados mantengan su concordancia con los axiomas, siempre subsiste la posibilidad de que un hecho hasta ahora inobservado pueda contradecirlos y así destruír su pretensión de universalidad. Lo más que pueden demostrar las consideracion inductivas es que los axiomas son plausibles, esto es, “probablemente” verdaderos.

Hubo un ensayo en otra dirección, emprendido por David Hilbert. Su idea básica se apoya en la geometría de las coordenadas Cartesianas. De acuerdo a la interpretación de Hilbert, los axiomas de Euclides se transforman en verdades algebraicas. De este modo, tomando los axiomas de la geometría plana, tal idea hace que la expresión “punto” signifique un par de números como (3,8), la expresión “línea recta” vendría siendo la relación lineal entre números expresada por una ecuación de primer grado, la expresión “círculo” vendría siendo una relación entre números expresada por una ecuación de segundo grado de cierta forma, y así sucesivamente. De este modo, la afirmación geométrica de que dos puntos distintos determinan solamente una línea recta se transforma entonces en la verdad algebraica de que dos pares distintos de números determinan solamente una relación lineal. Igualmente, el teorema geométrico de que una línea recta corta a un círculo en dos puntos como máximo tendría su contraparte algebraica en el teorema de que un par de ecuaciones simultáneas con dos incógnitas en donde una de las relaciones es lineal y la otra es de segundo grado de cierto tipo determinan dos pares de números reales como máximo, y así sucesivamente. Siendo así, la consistencia de los postulados Euclideanos aparentemente queda demostrada haciendo ver que satisfacen un modelo algebraico. Este método de demostrar la consistencia de los postulados de Euclides es válido y eficaz. Sin embargo, es también vulnerable a la objeción que ya ha sido expuesta, ya que aquí también se resuelve el problema planteado en un terreno, el terreno geométrico, desplazándolo a otro, el terreno algebraico. La argumentación de Hilbert en favor de la consistencia de los postulados geométricos de Euclides demuestra que si el álgebra es consistente entonces también lo será en su contraparte geométrica. La “prueba” se halla en una clara dependencia de la supuesta consistencia de otro sistema, y por lo tanto no es una prueba absoluta.

Hay otra dificultad en los variados intentos para resolver el problema de la consistencia, la cual radica en el hecho de que los axiomas son interpretados por modelos compuestos de un número infinito de elementos, lo cual hace imposible encerrar los modelos en un número finito de observaciones, y de allí que la verdad de los axiomas sea objeto de duda. En la argumentación inductiva presentada en favor de la geometría Euclideana un número finito de hechos observados acerca del espacio se hallan presumiblemente de acuerdo con los axiomas. Pero la conclusión que se trata de demostrar implica una extrapolación de una serie finita de datos a otra infinita. ¿Cómo es posible justificar el salto de lo finito hacia lo infinito? La dificultad queda minimizada, si no completamente eliminada, en aquellos lugares en donde puedan idearse modelos que contengan solamente un número limitado de elementos. El modelo triangular utilizado arriba para demostrar la consistencia de los cinco postulados abstractos referidos a las clases M y N es finito; y es relativamente sencillo determinar por medio de una inspección visual si todos los elementos del modelo satisfacen realmente a los postulados, y por consiguiente si son verdaderos. A modo de ejemplo, si examinamos sucesivamente todos los vértices del modelo triangular puede comprobarse si se cumple el enunciado de que dos cualesquiera de ellos radican únicamente en un solo lado, con lo que queda demostrado como verdadero el primer postulado. Puesto que todos los elementos del modelo así como las relaciones relevantes existentes entre ellos se prestan a una inspección exhaustiva y directa, y puesto que es prácticamente nula la probabilidad de que se produzcan errores al inspeccionarlos, la consistencia de los cinco postulados no suscita duda alguna.

Sin embargo, la mayoría de los sistemas de postulados que constituyen los fundamentos de numerosas e importantes ramas de las matemáticas no pueden ser reflejados en modelos finitos. Considérese el axioma de la aritmética elemental que afirma que todo número entero tiene un sucesor inmediato distinto de todo otro número anterior. Resulta evidente que el modelo necesario para comprobar el conjunto a que pertenece este postulado no puede ser finito, sino que debe contener una infinidad de elementos. De ello se desprende que la verdad y por lo tanto la consistencia del conjunto no puede demostrarse mediante una inspección exhaustiva de un número limitado de elementos. Hemos llegado al parecer a un callejón sin salida. Los modelos finitos bastan, en principio, para demostrar la consistencia en ciertos conjuntos de postulados; pero se trata de conjuntos de postulados que tienen muy escasa importancia matemática. Los modelos no finitos, necesarios para la interpretación de la mayoría de los sistemas de postulados matemáticamente importantes, sólo pueden ser descritos en términos generales; y no es posible dar por sentado que las descripciones se puedan hallar exentas de contradiccines ocultas que aún no han salido a la luz.

Al llegar aquí se presenta la tentación de sugerir que podemos estar seguros de la consistencia de las formulaciones en que se describen los modelos no finitos si las nociones básicas empleadas son transparentemente “claras” y “distintas”. Pero la historia del pensamiento no ha solido admitir la doctrina de las ideas “claras y distintas” ni admitir la teoría del conocimiento intuitivo implícita en la sugerencia. En ciertas zonas de la investigación matemática en que las hipótesis acerca de los conjuntos infinitos desempeñan un papel importante han surgido contradicciones radicales, pese a la intuitiva claridad de las nociones implicadas en las hipótesis y pese al carácter aparentemente consistente de las construcciones intelectuales realizadas. Contradicciones de este tipo denominadas técnicamente antinomias han aparecido una y otra vez en la teoría de los números transfinitos desarrollada por Georg Cantor en el siglo XIX; y la presencia de estas contradicciones ha hecho evidente que la aparente claridad de ni siquiera una noción tan elemental como la de clase (o conjunto) garantiza la consistencia de cualquier sistema concreto que se edifique sobre ella. Puesto que la teoría matemática de las clases que versa sobre las propiedades y relaciones de los agregados o colecciones de elementos es frecuentemente adoptada como fundamento para otras ramas de las matemáticas, y en particular para la aritmética, es oportuno plantearse la cuestión de si no se hallarán afectadas las formulaciones de otras partes de las matemáticas similares a las encontradas en la teoría de las clases infinitas.