Frecuentemente se toma casi como un acto de fé el hecho de que sea imposible obtener dos respuestas completamente distintas a un mismo problema matemático, se dá por hecho que partiendo de un cierto conjunto de principios o postulados solo se puede llegar a una respuesta única y es imposible llegar a dos respuestas diferentes y contradictorias que sean igualmente válidas. Muchos dan por hecho que tal cosa no puede ni podrá llegar a ocurrir jamás, dan por hecho que las matemáticas son consistentes.
¿Pero qué ocurriría si, partiendo de un mismo conjunto de principios elementales o postulados, sin cometer error o equivocación alguna, pero siguiendo caminos diferentes, obtuviéramos dos resultados matemáticos completamente contradictorios? Esto sería una sorpresa sumamente desagradable para la totalidad de los científicos. La humanidad ha invertido mucho tiempo y mucho esfuerzo en levantar la pirámide de conocimientos que agrupan todo aquello que conocemos como matemáticas, poniendo una fé ciega en los resultados y las conclusiones obtenidas, y bastaría un solo ejemplo, <i>uno solo</i>, para poner en duda toda esa pirámide de conocimientos, porque si partiendo de principios que suponemos impecablemente válidos se obtienen resultados inválidos o contradictorios entonces brinca la duda sobre qué más puede andar por allí que también sea inválido o contradictorio. Sería tanto como poner a la pirámide de cabeza.
Si fuese posible obtener dos resultados diferentes y contradictorios de un mismo conjunto de principios o postulados tomados como válidos y a toda prueba, sin haber cometido error alguno, el problema inmediato sería: ¿cuál de los dos resultados es el verdadero y cuál es el falso? Porque damos por hecho de que solo uno de los dos resultados es cierto y el otro debe ser necesariamente falso. No pueden ser dos resultados diferentes igualmente válidos y verdaderos, al menos no en las matemáticas. Pero en una situación así, ¿cómo vamos a saber cuál de los dos resultados desechar, si no cometimos error o equivocación alguna en el desarrollo del problema? Una situación así pondría bajo tela de duda lo que conocemos como la consistencia de las matemáticas. Las matemáticas dejarían de ser consistentes, al menos para ese problema, y posiblemente para todos los demás problemas resueltos mediante las técnicas de las matemáticas.
Un área en donde surgen frecuentemente paradojas matemáticas es aquella en donde manejamos problemas que tienen que ver con el infinito. La división por cero, por ejemplo, es precisamente lo que hace que se presenten conclusiones que parecen ser verdaderas aberraciones, tales como la “demostración” de que ¡2 es igual a 1!. Esta conclusión que de antemano sabemos que debe de estar fatalmente errada se obtiene aplicando rigurosamente y al pie de la letra pasos y procedimientos de álgebra elemental que damos por hecho que nunca deberían de conducir a tan horrible conclusión.
La “demostración” de que 2 es igual a 1, que conduce también por aplicación de los procedimientos del álgebra elemental a la conclusión de que ¡1 es igual a 0! procede de la siguiente manera. Empezamos con lo que parece ser una verdad completamente evidente, asertando que un número incógnito simbolizado como x es igual a cierta cantidad real que simbolizaremos como a:
x = a
Ciertamente, no hay nada erróneo en suponer algo así. Es precisamente en lo que se basa el álgebra. Si no pudiéramos enunciar tal cosa, no habría álgebra.
Multipliquemos ahora ambos miembros de la igualdad por x. Un principio sólido e inmutable del álgebra es que si multiplicamos ambos miembros de una igualdad por la misma cantidad, la igualdad no se altera (usaremos un punto para simbolizar la operación de multiplicación):
x · x = a · x
Simplificando un poco habido el hecho de que en el lado izquierdo de la igualdad tenemos una cantidad multiplicada por sí misma, lo cual es equivalente a elevar dicha cantidad al cuadrado, podemos escribir lo anterior del modo siguiente:
x2 = ax
Lo único que hemos hecho aquí ha sido abreviar. Nuevamente, y ateniéndonos a los principios más elementales del álgebra que aprendimos y aceptamos casi como si fuera un acto de fé, si restamos en ambos miembros de una igualdad matemática la misma cantidad, esto no altera en nada la validez de la igualdad matemática. Restemos pues la cantidad a2 de ambos lados de la igualdad:
x2 - a2 = ax - a2
Aplicando ahora los principios elementales de factorización, vemos que tanto el lado izquierdo de la igualdad como el lado derecho pueden ser factorizados del modo que se muestra a continuación:
(x + a) · (x - a) = a(x - a)
Hasta aquí no hemos cometido error alguno en la aplicación de las reglas del álgebra, y cualquier maestro de secundaria o preparatoria nos confirmaría que nuestro desarrollo ha sido impecable.
Si nos fijamos bien, tenemos un factor binomial común en ambos lados de la igualdad. Nuevamente, si dividimos ambos miembros de una igualdad por la misma cantidad, la igualdad no se altera, y esto lo sabe bien cualquier estudiante de álgebra. Vamos a efectuar la siguiente división:
[ (x + a) · (x - a) ] / (x - a) = [a(x - a)] / (x - a)
Al llevar a cabo la división eliminando con ello el factor común en ambos lados de la igualdad, se obtiene entonces:
x + a = a
Inicialmente, se había supuesto que x es una incógnita que representa el valor de una cantidad real a. Digamos que tal valor es 1. Entonces, substituyendo dicho valor se obtiene lo siguiente:
1 + 1 = 1
2 = 1
Para quienes ignoran los detalles de la paradoja, esta conclusión parece completamente inesperada. ¿De modo que 2 es igual a 1? ¿Cómo puede ser tal cosa posible? Y si restamos 1 de ambos miembros de la igualdad, nuevamente aplicando al pie de la letra las reglas del álgebra, llegamos a la siguiente conclusión absurda:
1 = 0
¡Uno es igual a cero! ¿Uno es igual a cero? ¿Cómo puede ser tal cosa posible?
Este es el resumen de la secuencia de pasos empleados en la obtención de la paradoja:
Revisando con lupa los pasos que hemos llevado a cabo desde un principio, no encontramos absolutamente nada que haya violado los principios más elementales del álgebra que se nos han enseñado. Hemos aplicado rigurosamente los principios básicos, y por más que revisamos de arriba hacia abajo y de abajo hacia arriba no encontramos absolutamente nada que nos revele una equivocación.
Ciertamente, uno no puede ser igual a cero. Nos lo dicta la lógica más elemental. Y sin embargo, el resultado está allí, burlándose de nosotros.
En realidad, cuando se somete el desarrollo anterior bajo una lupa más sofisticada, se encuentra que en cierto paso se cometió un error fatal que no se debería de haber cometido. El error se comete cuando saltamos de la expresión:
(x + a) · (x - a) = a(x - a)
a la expresión:
x + a = a
¿Por qué? Pues simple y llanamente porque la cantidad:
x - a
es ni más ni menos que una cantidad igual a cero (toda cantidad restada de sí misma es igual a cero). Y al haber llevado a cabo la división que eliminó el binomio común en ambos miembros de la igualdad, en realidad efectuamos una división por cero. Esto es lo que introduce la manzana de la discordia. Y nos lleva a la siguiente dura lección que debemos tener presente de aquí en adelante:
En matemáticas, está prohibida la división por cero, ya sea manifiesta o disfrazada.
Así pues, no hay paradoja alguna, al menos en lo que hemos visto.
La falacia anterior no es la única que se puede encontrar en las matemáticas. Hay muchas otras en las cuales pese a que creemos que estamos siguiendo al pie de la letra las “reglas del juego”, obtenemos contradicciones absurdas, como la que se ilustra a continuación.
PROBLEMA: Sean m y n dos números diferentes. Si son diferentes, podemos hacer la siguiente aserción:
m – n = 2c
en donde c es un número que puede ser determinado fácilmente. Aplicando álgebra ordinaria, podemos llevar a cabo el siguiente desarrollo algebraico:
Este resultado contradice directamente la suposición inicial de que ambos números eran diferentes. ¿Cuál es el error en el procedimiento mostrado arriba?
La fuente de la paradoja se encuentra al pasar de la pasar de la octava línea a la novena línea, en el paso en donde sacamos raíz cuadrada de ambos lados de la ecuación. La implicación:
(m - n)2 = 4c2 ⇒ m – n = 2c
no es válida, puesto que antes de sacar la raíz cuadrada, la expresión también es válida para:
n – m = - 2c
En pocas palabras, al sacar raíz cuadrada hay una raíz con signo positivo y otra raíz con signo negativo, y es la raíz con signo negativo la que hay que utilizar para poder llegar a la conclusión correcta.
Desde la perspectiva de la lógica, el ir de cada paso al siguiente involucra una aserción del tipo “si... entonces...”, de modo tal que el procedimiento anterior puede ser reformulado de la manera siguiente que muestra las implicaciones sucesivas:
| m - n = 2c | ⇒ | m2 - mn = 2cm |
| ⇒ | n2 + m2 - mn = 2cm + n2 | |
| ⇒ | n2 + m2 - 2mn = 2cm + n2 - mn | |
| ⇒ | n2 -2mn + m2 = 2cm - n(m - n) | |
| ⇒ | n2 -2mn + m2 = 2cm - n(2c) | |
| ⇒ | (n - m)2 = 2c(m - n) | |
| ⇒ | (n - m)2 = 2c(2c) | |
| ⇒ | (n - m)2 = 4c2 | |
| ⇒ | n - m = 2c | |
| ⇒ | n - m = m - n | |
| ⇒ | 2n = 2m | |
| ⇒ | n = m |
Tampoco aquí hay paradoja, aunque tal vez se batalle algo para encontrar la causa de la falacia.
Pero hay otros casos en donde se vuelve más endiabladamente difícil salir tranquilamente del laberinto. Uno de ellos es el que tiene que ver con el quinto postulado de Euclides.
Euclides, el gran maestro griego por excelencia fundador de la geometría clásica y fundador de facto del método axiomático en las matemáticas, dió inicio al procedimiento axiomático que consiste en derivar todo enunciado matemático del conjunto más pequeño posible de verdades “autoevidentes” conocidas como axiomas, verdades tan sencillas de enunciar y comprender que estas verdades no podían ser obtenidas a su vez de la combinación de otras verdades aún más sencillas. Fue así como Euclides basó toda su geometría en tan solo cinco axiomas:
1. Por dos puntos solo pasa una recta.
2. Un segmento se puede prolongar indefinidamente.
3. Dados un punto y un radio, solo se puede trazar una circunferencia.
4. Todos los ángulos rectos son iguales.
Todas las fórmulas que conocemos de la geometría clásica como el teorema de Pitágoras, el teorema del centroide de Pappus, y el teorema de la cuadratura de las lunas de Hipócrates, se pueden obtener partiendo de la aplicación de los anteriores cinco axiomas aunque ello no sea evidente. Precisamente para aprender tales cosas los estudiantes de las escuelas de secundaria y bachillerato “queman” cientos de horas de su tiempo de estudio. A diferencia de los cincoo axiomas básicos de Euclides, no resulta tan evidente de buenas a primeras la validez absoluta del teorema de Pitágoras. Podemos hacer dos cosas: o podemos aprendernos de memoria dicho teorema aceptándolo sin discusión alguna como cierto confiando en que fue obtenido por alguna eminencia en la materia en la cual debemos creer ciegamente tan solo por su fama (desafortunadamente, esta es la práctica seguida en muchas escuelas que obligan a sus estudiantes a ir asimilando fórmulas al igual que a los pericos se les enseña a “hablar”), o podemos exigir que se nos muestre algú procedimiento detallado mediante el cual se puede obtener la fórmula (o conclusión final) del teorema de Pitágoras que nos dice que “en todo triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos”. Esto sí lo podemos poner en tela de duda pidiendo que se nos demuestre la manera en la cual se pueden llegar a tales “verdades geométricas”. Pero en el caso de los axiomas, como el que nos dice que por un punto solo pasa una línea recta, esto resulta tan evidente que parece imposible que pueda ser obtenido de enunciados más sencillos. Los axiomas son el punto de partida de todo lo que viene después (que puede ser bastante).
Bueno, en realidad, no todos los cinco axiomas de Euclides son tan “evidentes”. El quinto axioma, el postulado de las rectas paralelas, tal y como lo enunció Euclides, dice así:
“Si una recta al cortar a otras dos forma ángulos internos menores a un ángulo recto, esas dos rectas prolongadas indefinidamente se cortan del lado en el que están los ángulos menores que dos rectos.”Esto ya no parece tan “evidente” para nuestro gusto, y parecería que debería ser posible obtenerlo a partir de algunas verdades más sencillas, como los anteriores cuatro axiomas. Pero resulta que es imposible obtenerlo a partir de los anteriores cuatro axiomas, nadie ha encontrado jamás la manera de lograr tal cosa, y se duda mucho que alguien la encuentre jamás. Pero si no se puede obtener de los cuatro axiomas anteriores, ¿no habrá por allí algún par de axiomas con los cuales se pueda deducir y demostrar el postulado de las rectas paralelas? Tampoco nadie ha podido encontrar tal cosa, y en ello se han aplicado los mejores matemáticos de todos los tiempos. Sin embargo, como no resulta una verdad tan “evidente”, por mucho tiempo se le dejó de considerar como un “axioma”, llamándolo en cambio postulado, en el sentido de que se trata de un axioma que no es tan “evidente” pero que de cualquier modo se debe tomar como axioma porque no nos queda de otra.
Durante mucho tiempo se creyó que el quinto axioma era superfluo y que debería poderse deducir de los cuatro axiomas anteriores. A primera vista, este enunciado parece algo complicado como para poder ser aceptado como una verdad absoluta sin requerir ninguna demostración para aceptar su validez, y por esta misma razón era conocido como un “postulado” y no como un “axioma”, siendo un postulado “casi casi un axioma” aunque no tan evidente, pero al fin y al cabo aceptado como un axioma. En los cursos introductorios de geometría Euclideana, el postulado de las paralelas frecuentemente es enunciado de otras maneras en las que nos es mejor conocido, como las siguientes:
- “Por un punto exterior a una recta solo es posible trazar una recta paralela a la recta dada”
- “Dos rectas paralelas nunca se tocan ni se encuentran (ni siquiera en el infinito)”
El postulado original de Euclides toma como punto de partida dos rectas que se supone paralelas, y una tercera recta que en un dibujo en un plano corta a las dos rectas paralelas. Si las rectas que son atravesadas son perfectamente paralelas, no es difícil convencerse viendo el dibujo de arriba que si la suma de los ángulos internos a y b es igual a 180 grados (o sea la suma de dos ángulos rectos, definido un ángulo recto como aquél que es exactamente igual a 90 grados) entonces las dos rectas jamás se encontrarán por más que se les extienda ya sea hacia arriba o hacia abajo yendo inclusive hasta el infinito. En pocas palabras, las rectas 1 y 2 jamás se encontrarán.
El enunciado nos dice de manera formal algo que damos por hecho: dos rectas paralelas nunca se encuentran. ¿Pero ni siquiera en el infinito? La división por cero ya nos hizo ver los resultados inesperados que se obtienen al meterse en cuestiones que tienen que ver con el infinito. Por la manera en la que está enunciado el quinto postulado, parece que debería ser posible derivarlo de axiomas o postulados más básicos, posiblemente los cuatro postulados que le preceden, removiendo la inquietud que nos pueda producir el tratar de extender la validez del postulado de las paralelas hasta el mismo infinito.
Sin duda alguna, Euclides habrá tratado de demostrar su quinto postulado a partir de otros enunciados más sencillos removiendo toda duda sobre la validez del mismo inclusive hasta el infinito. Pero no pudo, y así lo dejó poniéndolo en último lugar después de los primeros cuatro axiomas. Lo más que se podía lograr era enunciarlo de otras maneras, pero al final de cuentas imposibles de demostrar.
Podemos aceptar alegremente el postulado de las paralelas de Euclides tomándolo como una verdad absoluta, que al fin y al cabo ¿acaso no lo afirmó una autoridad en la materia, nadie menos que el mismo Euclides? Pero en las matemáticas no hay actos de fé, no se acepta ciegamente la validez de una aserción tan solo porque lo dijo una autoridad por respetable que sea. Si una aserción no puede ser demostrada a partir de principios más sencillos cuya veracidad es imposible poner en duda, entonces la aserción se toma como un postulado, y en casos más complicados se convierte en lo que llamamos una conjetura cuya validez o invalidez está pendiente de ser demostrada. Una de las conjeturas más famosas de todos los tiempos posiblemente lo sea el último teorema de Fermat que dice:
Si n es un número entero mayor que 2, entonces no existen números enteros positivos x, y y z, tales que se cumpla la igualdad:Presumiblemente, esta igualdad matemática tiene validez hasta el mismo infinito. Es extraordinariamente difícil aceptar un enunciado así como un acto de fé. Siempre queda la duda de que tarde o temprano alguien con el suficiente tiempo y con una computadora lo suficientemente poderosa al alcance de su mano encontrará una combinación de tres números que le dará el golpe mortal al último teorema de Fermat. Solo en fechas recientes y recurriendo a las técnicas más sofisticadas en teoría de números ha sido posible probar la validez del último teorema de Fermat.
xn + yn = zn
Por mucho tiempo después de Euclides, la validez del quinto postulado no fue puesta en tela de duda. Si trazamos dos rectas paralelas, y si tales rectas son perfectamente paralelas, no esperaríamos que tales rectas se pudieran tocar ni siquiera en el infinito; porque si tal cosa ocurriera entonces lo lógico sería suponer que desde un principio no eran perfectamente. ¿No es así?
En efecto, en una hoja de papel que podemos imaginar como un plano con una superficie infinita extendiéndose en todas las direcciones posibles, podemos trazar dos rectas manteniéndolas paralelas por siempre sin que se toquen jamás. ¿Pero que tal si la hoja de papel es puesta sobre una superficie esférica, como la superficie de la Tierra? Al hacer tal cosa, y al repetir el trazado de las líneas paralelas, eventualmente nos toparemos con una sorpresa sumamente desagradable: las líneas que suponemos paralelas se encuentran, y de hecho se encuentran en dos ocasiones en dos puntos diferentes, opuestos en el globo terráqueo.
¿Cómo es esto posible?
El problema fundamental estriba en el hecho de que mientras que en una superficie plana dos rectas paralelas efectivamente nunca se tocan, sobre la superficie de una esfera no hay manera de trazar dos rectas perfectamente paralelas que nunca se toquen. Lo primero que se nos puede ocurrir es que sobre la supeficie de una esfera podemos imaginar trazada una recta que coincide con la línea del Ecuador o línea ecuatorial, una recta que dicho sea de paso y a diferencia de la recta de Euclides que se extiende indefinidamente hasta el infinito en ambas direcciones con una longitud infinita, es una recta cerrada con una longitud ciertamente finita, grande pero finita. El siguiente paso consiste en trazar una recta que sea paralela a la recta que hacemos coincidir con el Ecuador, una recta que empieza a partir de un punto situado digamos a unos cien kilómetros arriba (o por debajo) de la línea del Ecuador. Al trazar nuestra recta paralela al Ecuador, con nuestra vara de medir podemos ir midiendo la distancia de tal manera que siempre se mantenga constante a cien kilómetros del Ecuador. Pero aquí surge otro hecho sorprendente. Si insistimos en mantener nuestra “recta” a una distancia constante de cien kilómetros del Ecuador, descubriremos que nuestra “recta” en realidad no es tan “recta” como creíamos, ya que localmente vemos que se va “torciendo” con una curvatura constante en cierta dirección sobre la misma superficie de la esfera (o sea no saliendo “hacia arriba” de la superficie de la esfera ni penetrando “hacia abajo” al interior del planeta). Entonces nuestra “recta” no es una línea “recta” sino una línea curva. Esto es algo que descubrimos localmente sin salir de nuestra recta al ir avanzando hacia adelante en el trazado manteniendo siempre una distancia constante hacia la línea del Ecuador. La única manera posible de eliminar la curvatura que vamos encontrando es “compensar” el trazado de la línea que vamos trazando dándole una curvatura en el sentido contrario, solo así de este modo podremos mantener nuestra línea recta como una línea perfectamente recta. Pero al hacer tal cosa, ya no es posible mantener una distancia constante de cien kilómetros a la línea del Ecuador, conforme avanza el trazado la distancia al Ecuador de nuestra línea perfectamente se va acortando más y más, hasta que eventualmente nuestra línea recta se encuentra con la línea del Ecuador, como puede apreciarse mejor en el siguiente diagrama en donde las dos rectas son resaltadas de color negro:
Quizá la mejor manera de convencerse de lo anterior es llevando a cabo el trazado de nuestra “recta paralela a la línea del Ecuador” empezando en algún punto muy cercano al Polo Norte, digamos a unos veinte metros del Polo Norte. Si insistimos en mantener una distancia constante de cien kilómetros a la línea del Ecuador, veremos que nuesta línea se “tuerce” (hacia la izquierda, sobre la superficie del globo terráqueo) con una curvatura pronunciada. Y si el criterio no es mantener una distancia constante de cien kilómetros a la línea del Ecuador sino ir trazando nuestra recta lo más “derecho” posible (o sea, lo más recta posible) sin curvatura alguna tal y como lo detectamos localmente con alguna vara larga que sea perfectamente recta, eliminando la curvatura, entonces la distancia hacia el Ecuador nuevamente se irá reduciendo hasta que ambas rectas trazadas sobre una superficie esférica eventualmente se encuentran. El encuentro es predecible e inevitable.
Lo anterior nos confirma que, sobre la superficie de una esfera, una línea verdaderamente recta tiene que ser parte de lo que se conoce como un arco de círculo máximo.
Si nos fijamos bien, más sorprendente resulta aún el hecho de que sobre la superficie de una esfera podemos trazar no una sino una cantidad infinitamente grande de rectas “paralelas” al Ecuador, todas las cuales eventualmente intersectan con el Ecuador tarde o temprano.
Para tratar de mantener la validez del quinto postulado original de Euclides, se nos puede ocurrir modificar la aserción original ampliándola a algo como lo siguiente.
“Si sobre una superficie plana (no esférica) una recta al cortar a otras dos forma ángulos internos menores a un ángulo recto, esas dos rectas prolongadas indefinidamente se cortan del lado en el que están los ángulos menores que dos rectos sobre la superficie plana.”En realidad, estamos haciendo “trampa”. Se ha excluído deliberadamente una situación en la cual el quinto postulado de Euclides no se cumple, o sea el caso en el que la superficie usada para el trazado de las rectas no es plana sino esférica. Pero aún, en nuestro esfuerzo por salvar la idea original, el postulado de las paralelas de Euclides se ha convertido en un enunciado todavía más complejo. Y lo peor del caso, igualmente indemostrable. Lo único que hemos hecho ha sido imponer una restricción sobre la aplicabilidad y universalidad del postulado de las paralelas de Euclides, no hemos llevado a cabo simplificación alguna. Tal parece que estamos peor que al principio. Este tipo de consideraciones nos lleva invariablemente a sospechar que hay otros tipos de geometrías diferentes a la geometría original de Euclides con sus propios teoremas que son completamente válidos dentro de dichas geometrías. Eventualmente, todo esto es precisamente lo que dió origen a lo que hoy se conoce como geometrías no-Euclideanas.
Las sorpresas no paran aquí. Ya vimos que sobre la superficie de una esfera dos rectas paralelas (definidas como líneas pertenecientes a arcos de círculo máximos) siempre se encuentran. Pero si en vez de hacer el trazado de dos rectas paralelas sobre la superficie de una esfera lo hacemos sobre una superficie conocida como el paraboloide hiperbólico (el cual tiene la forma de una silla de montar), nos encontramos con el hecho sorprendente de que dos rectas paralelas (trazadas localmente como tales sobre la superficie de la silla de montar) nunca se encuentran.
Tenemos entonces tres postulados con consecuencias completamente diferentes:
“A través de un punto exterior a una recta dada se puede trazar una cantidad infinitamente grande de rectas paralelas a la recta dada” (cuando ambas son trazadas sobre una superficie esférica).¿Estaba entonces equivocado Euclides? Sorprendentemente, no. Estaba en lo correcto, partiendo del quinto postulado tal y como lo había enunciado para una superficie plana. Sin embargo, las otras dos alternativas, partiendo de postulados contradictorios con el quinto postulado de Euclides en su geometría plana, también dan lugar a geometrías igualmente consistentes y válidas con sus propios teoremas y conclusiones. Así como en la geometría Euclideana para superficies planas hay un teorema de Pitágoras y hay otro teorema que nos dice que “la suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a dos rectos (es decir, a 180 grados)”, de igual manera para una superficie esférica hay un símil del teorema de Pitágoras y un teorema que nos dice que “la suma de los ángulos interiores de un triángulo esférico es mayor que 180 grados y menor que 540 grados” (esto último se puede demostrar rigurosamente) dando pie a lo que se conoce como la trigonometría esférica.
“A través de un punto exterior a una recta dada solo se puede trazar una recta paralela a la recta dada” (cuando son trazadas en una superficie plana).
“A través de un punto exterior a una recta dada no se puede trazar ninguna recta paralela a la recta dada” (cuando son trazadas en una superficie paraboloide).
¿Tres sistemas de geometrías perfectamente válidos, contradictorios el uno con el otro, pero plenamente consistentes en su interior? ¿Cómo puede ser esto posible? Pues lo es, y no solo no se pone ya en tela de duda, sino que la alternativa de una geometría diferente a la geometría de Euclides es lo que ha sido usado para el desarrollo de la Teoría General de la Relatividad de Alberto Einstein. Al menos en el mundo físico, tal cosa es una realidad que nadie cuestiona.
Ultimadamente, lo que debe preocuparnos no es que las conclusiones obtenidas dentro de cierta geometría sean diferentes e incluso completamente contradictorias con las conclusiones obtenidas en otra geometría. Lo que realmente debe preocuparnos es la posibilidad de que dentro de cierta geometría, sin salir de la misma para nada, partiendo del mismo conjunto de axiomas y postulados que la caracterizan, podamos llegar a dos conclusiones completamente diferentes y contradictorias. Un ejemplo de ello sería si dentro de la geometría plana usando su conjunto básico de axiomas y postulados obtuviéramos la demostración de un teorema que dijera “en todo triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos” (teorema de Pitágoras) y de otro teorema obtenido sin cometer error alguno u equivocación que dijera que “en todo triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa siempre será mayor que la suma de los cuadrados de los catetos”. Una contradicción interna de tal calibre sería más que suficiente para derrumbar el castillo, porque demostraría que tal geometría es inconsistente. Pero siendo la geometría una rama de las matemáticas, la pregunta se puede ampliar a una de mayor generalidad que desde hace tiempo les ha quitado el sueño a muchos matemáticos que han dedicado sus vidas al cultivo de dicha ciencia: ¿Son consistentes las matemáticas? Lo cual puesto bajo lupa equivale a formular la pregunta toral: ¿Se puede demostrar formalmente y con argumentos lógicos e irrebatibles que las matemáticas son consistentes?
