En su trabajo Gödel desarrolló un cálculo formalizado mediante el cual se pueden expresar todas las notaciones aritméticas a las que estamos acostumbrados así como fijar relaciones aritméticas ya conocidas, para lo cual recurrió a una adaptación precisamente del sistema deductivo desarrollado en el Principia Mathematica. Después de todo, el trabajo de Gödel versaba precisamente sobre las proposiciones formalmente indecidibles bajo el esquema constructivo empleado por Russell y Whitehead en su obra; aunque al final de cuentas cualquier otro cálculo dentro del cual se pueda construír el sistema de los números cardinales habría logrado el mismo propósito.
Las fórmulas del cálculo desarrollado por Gödel se basan en una clase de signos elementales que forman lo que puede ser considerado como el vocabulario fundamental. Al igual que cualquier otra cosa que pretendemos que sea axiomatizada, los pilares están constituídos por un conjunto de fórmulas primitivas, o sea los axiomas que tomamos como una sucesión de signos, de modo tal que los teoremas del cálculo vienen siendo fórmulas que se pueden derivar de los axiomas empleando una serie de reglas de transformación o reglas de deducción que son especificadas con sumo cuidado. De este modo, Gödel demostró por principio de cuentas que es posible asignar un número único a cada signo elemental, a cada fórmula y a cada prueba o demostración que viene siendo una sucesión finita de fórmulas, una tras otra. El número al que nos estamos refiriendo aquí es lo que llamaremos el número Gödel del signo, fórmula o demostración. Se resalta el hecho de que hay muchas maneras diferentes de asignar números Gödel, aunque para fines de argumentación es irrelevante cuál de dichas maneras terminemos adoptando. El método que será empleado aquí es esencialmente el mismo que el que fue empleado por Gödel en su trabajo publicado en 1931.
Empezaremos definiendo los signos elementales que pertenecen al vocabulario. Los hay de dos clases:
a) Los signos constantes.
b) Las variables.
Aunque Gödel utilizó en su trabajo únicamente siete signos constantes (en el desarrollo de trabajos en lógica formal se acostumbra minimizar lo más que se pueda todo lo que se emplea con la finalidad de compactar y sintetizar al mínimo el cálculo que se está desarrollando), usaremos diez signos con la finalidad de evitar caer en varias complejidades si insistiéramos en limitarnos también a siete signos constantes. Los diez signos constantes serán asociados como números Gödel a los números enteros que van del 1 al 10. Los signos son ya conocidos en su mayoría por cualquier lector que tenga nociones elementales de lógica formal, y podemos reulmirlos en la siguiente tabla:
| Signo | Significado |
~
|
no (negación) |
∨
|
o |
⊃
|
Si... entonces... (implicación) |
∃
|
Existe un... |
=
|
igual a |
0
|
cero |
s
|
el sucesor inmediato de |
(
|
Signo de puntuación, paréntesis de apertura |
)
|
Signo de puntuación, paréntesis de cierre |
,
|
igno de puntuación |
De acuerdo a la tabla anterior, la letra invertida ‘∃’ usada como “cuantificador existencial” puede leerse como ‘existe un’. La letra minúscula ‘s’ es agregada a las expresiones numéricas para designar el sucesor inmediato de un número. A manera de ejemplo del uso de los anteriores signos, la siguiente construcción:
(∃x)(x = s0)
se puede leer simplemente como “existe un x tal que x es el sucesor inmediato de cero”.
Tomando en consideración la tabla anterior, en la siguiente tabla se introduce el número Gödel que será asociado a cada uno de los signos:
| Signo | Número Gödel |
Significado |
~
|
1
|
no (negación) |
∨
|
2
|
o |
⊃
|
3
|
Si... entonces... (implicación) |
∃
|
4
|
Existe un... |
=
|
5
|
igual a |
0
|
6
|
cero |
s
|
7
|
el sucesor inmediato de |
(
|
8
|
signo de puntuación |
)
|
9
|
Signo de puntuación, paréntesis de apertura |
,
|
10
|
Signo de puntuación, paréntesis de cierre |
Se tiene además de los signos elementales constantes a las variables en las cuales podemos identificar a tres tipos distintos:
1) Las variables numéricas.
2) Las variables sentenciales.
3) Las variables predicativas.
Con las variables numéricas tales como ‘x’, ‘y’, ‘z’, etcétera podemos sustituír a los numerales y las expresiones numéricas en general. Con las variables sentenciales tales como ‘p’, ‘q’, ‘r’, etcétera podemos sustituír a las fórmulas o sea a las sentencias. Y con las variables predicativas tales como ‘P’, ‘Q’, ‘R’, etcétera podemos sustituír predicados tales como ‘primo’ o ‘menor que’.
Necesitamos una manera de poder asignar números Gödel a las variables. Esto se logra de la siguiente manera:
1) Se asocia a cada variable numérica un número primo distinto mayor de 10.
2) Se asocia a cada variable sentencial el cuadrado de un número primo mayor de 10.
3) Se asocia a cada variable predicativa el cubo de un número primo mayor de 10.
En la siguiente tabla se presentan ejemplos en los cuales se especifican los números Gödel de unas cuantas variables numéricas:
| Variable numérica |
Número Gödel |
Ejemplo de sustitución |
x
|
11
|
0
|
y
|
13
|
s0
|
z
|
17
|
y
|
Obsérvese que en todos los casos las variables numéricas se asocian a números primos mayores de 10.
Por otro lado, en la siguiente tabla se presentan ejemplos en los cuales se especifican los números Gödel de unas cuantas variables sentenciales:
| Variable sentencial |
Número Gödel |
Ejemplo de sustitución |
p
|
112
|
2 = 2
|
q
|
132
|
(∃z)(z = sy)
|
r
|
172
|
q ⊃ r
|
Obsérvese que en todos los casos las variables sentenciales se asocian a los cuadrados de números primos mayores de 10.
Por otro último, en la siguiente tabla se presentan ejemplos en los cuales se especifican los números Gödel de unas cuantas variables predicativas:
| Variable sentencial |
Número Gödel |
Ejemplo de sustitución |
P
|
113
|
número primo |
Q
|
133
|
número compuesto |
R
|
173
|
menor que |
Obsérvese que en todos los casos las variables sentenciales se asocian a los cubos de números primos mayores de 10.
A continuación hablaremos acerca de una fórmula bajo el sistema de numeración Gödel, puesto arriba como ejemplo en una de las tablas:
(∃z)(z = sy)
cuya traducción literal al Castellano es “existe un z tal que z es el sucesor inmediato de y”, lo cual en términos aún más claros significa que todo número tiene un sucesor inmediato (esta es la esencia básica de los axiomas de Peano). Puesto que para la fórmula anterior los números Gödel respectivos asociados a los diez signos elementales constitutivos son 8, 4, 11, 9, 8, 11, 5, 7, 13 y 9, resulta clara entonces la correspondencia biunívoca mostrada por la siguiente asociación esquemática:
| ( | ∃ | x | ) | ( | x | = | s | y | ) |
| ↓ | ↓ | ↓ | ↓ | ↓ | ↓ | ↓ | ↓ | ↓ | ↓ |
| 8 | 4 | 11 | 9 | 8 | 11 | 5 | 7 | 13 | 9 |
Resulta deseable asignar una fórmula a un solo número en vez de asignarla a un conjunto ordenado de números como lo hemos hecho arriba, lo cual podemos llevar a cabo con mucha facilidad, y hacerlo en forma única para cada fórmula que pueda ser construída. Todo lo que tiene que hacerse es multiplicar los diez primeros números primos (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29) en orden de magnitud estando cada uno de ellos elevado a una potencia que sea igual al número Gödel del signo elemental correspondiente en la fórmula en el mismo orden en que aparece cada número Gödel en la fórmula. ¡Un solo número para representar toda la fórmula! En este caso, la fórmula quedaría asociada al número:
28×34×511×79×118×1311×175×197×2313×299
Por simplicidad llamaremos a tal número m. Procediendo de la misma manera, es posible asignar a cualquier sucesión finita de signos elementales, o sea a cada fórmula, un número que sea único y exclusivo para dicha fórmula, siendo el producto de tantos números primos como signos haya estando elevado cada número primo a una potencia igual al número Gödel del signo correspondiente.
¿Y qué del caso de sígnos que no aparezcan en el vocabulario fundamental, por ejemplo el signo ‘∧’? Dichos signos pueden ser introducidos definiéndolos con la ayuda de los signos del vocabulario que ya se tienen. En el caso del signo ‘∧’ que en proposiciones lógicas significa ‘y’, lo podemos definir del modo siguiente. p∧q equivale a:
∼ (∼p ∨ ∼q)
Las expresiones que contienen signos definidos pueden ser eliminadas a favor de sus equivalentes definidores, con lo cual un número Gödel puede ser determinado para la expresión transformada. Consecuentemente, el número Gödel para la fórmula p∧q será el que corresponde para su equivalente lógico en la fórmula dada arriba.
Veamos finalmente lo que ocurre en una sucesión de fórmulas como lo encontramos cuando se lleva a cabo una demostración. Considérese lo siguiente que podemos tomar como una demostración lógica llevada a cabo en dos pasos, o sea empleando dos fórmulas (una fórmula en cada paso):
(∃x)(x = sy)
(∃x)(x = s0)
La segunda fórmula, traducida al Castellano, dice simplemente que “0 tiene un sucesor inmediato”, y puede ser derivada de la primera fórmula sustituyendo la variable numérica ‘y’ por el numeral ‘0’. El número Gödel de la primera fórmula ya ha sido determinado arriba, y hemos acordado en llamarlo m. Aunque ambas fórmulas son parecidas, en realidad no son idénticas, lo cual las hace diferentes. Supóngase ahora que n es el número Gödel de la segunda fórmula. Queremos ahora contar con un solo número Gödel que identifique a toda la sucesión de signos de la secuencia de ambas fórmulas (o sea, un número Gödel para la demostración), y lo podemos hacer de la misma manera asociándola con el número que es igual al producto de los dos primeros números primos en orden de magnitud (2 y 3) estando elevados cada uno de ellos a una potencia que sea igual al número Gödel de la fórmula correspondiente. Llamando a tal número k podemos escribir dicho número como:
k = 2m × 3n
De este modo nos es posible obtener un número Gödel único e individual para cada serie de fórmulas, o lo que es lo mismo, para una demostración completa. Toda expresión, ya sea un signo elemental, una sucesión de signos, o una sucesión de fórmulas en lo que constituye una demostración, puede llevar asignado un número Gödel único.
Hasta este punto lo que se ha logrado ha sido “aritmetizar” por completo el cálculo formal. El método que se ha descrito aquí se reduce a un conjunto de reglas para establecer una correspondencia biunívoca entre las expresiones del cálculo y una subclase de los números enteros. Dada cualquier expresión dentro del cálculo, se puede calcular unívocamente el número Gödel que corresponde a dicha expresión.
No todo número entero es un número Gödel. Considérese por ejemplo el número 100. Puesto que 100 es mayor que 10, no puede ser el número Gödel de un signo constante elemental. Del mismo modo, puesto que no es un número primo mayor de 10 (lo podemos descomponer en el producto de 2 por 5) ni es el cuadrado ni el cubo de un número primo, tampoco puede ser el número Gödel de una variable. Al descomponer 100 en sus factores primos, encontramos que es igual a:
22 × 52
y encontramos que el número primo 3 no aparece como factor en la descomposición, queda omitido. De acuerdo con las reglas que se han establecido arriba, el número Gödel de una fórmula o de una sucesión de fórmulas debe ser igual al producto de varios números primos sucesivos elevando cada uno de ellos a alguna potencia, y el número 100 no satisface tal condición. Puesto que 100 no puede ser asignado a signos constantes, variables o fórmulas, se concluye que no es un número Gödel.
Lo que hemos visto arriba puede ser contemplado desde una perspectiva opuesta pero igualmente importante. Dado un númeo cualquiera, podemos determinar si es un número Gödel, y si lo es, la expresión que representa puede ser restablecida en su totalidad. Si un número dado es igual o menor que 10, entonces necesariamente es el número Gödel de un signo constante elemental, y el signo puede ser identificado de inmediato. Si el número es mayor que 10, entonces tal número puede ser descompuesto en sus factores primos de una manera precisa y unívoca tal y como lo indica el famoso teorema fundamental de la aritmética que nos dice que si un número entero es un número compuesto (o sea que no es un número primo) entonces se le puede descomponer de una sola manera en el producto de factores primos. Si se trata de un número primo mayor que 10, o la segunda o tercera potencia de un número primo que reúna tal característica, entonces será el número Gödel de una variable identificable. Si se trata del producto de números primos sucesivos elevado cada uno de ellos a alguna potencia entonces puede ser el número Gödel de una fórmula o una sucesión de fórmulas. Dado el número Gödel también aquí puede determinarse exactamente la expresión a la que corresponde el número Gödel. De este modo se vuelve posible desmenuzar cualquier número como si fuese un organismo descubriendo la manera en la que está construído, indagando qué órganos o elementos lo integran, y puesto que cada uno de sus órganos o elementos corresponde a la expresión que representa podemos reconstituír en su totalidad la expresión original mediante la aplicación casi mecánica y rigurosa de una serie de pasos. Inclusive podemos concebir un programa de software que pueda hacer tal faena por nosotros, dándole el número Gödel para que después de varias horas de procesamiento intenso nos arroje la expresión o inclusive la demostración que tal número Gödel representa. Supóngase por ejemplo que se nos proporciona el número 243,000,000. No es muy difícil determinar con la ayuda de una computadora e inclusive una simple calculadora de bolsillo que tal número es igual al producto que se muestra a continuación:
64 × 243 × 15,625
Siguiendo un orden estricto en el acomodo de los números primos de izquierda a derecha, yendo del menor número primo al mayor número primo, lo anterior es igual a:
26 × 35 × 56
Resulta evidente de lo anterior que el causante del número fue el trío ordenado de números:
6 , 5 , 6
Y de acuerdo a la tabla dada arriba, esto viene de la expresión:
0 = 0
En el sistema de numeración que se ha descrito aquí, a la fórmula aritmética “cero es igual a cero” le corresponde el número Gödel 243,000,000. El procedimiento anterior nos muestra la manera en la que un número dado se va transformando en la expresión que representa, haciendo todo en orden inverso a la manera en la que se obtiene el número Gödel correspondiente a la fórmula.
La numeración Gödel será ingrediente fundamental en la siguiente entrada en donde se estudiará lo que es el núcleo central de la argumentación de Gödel en sus pruebas de incompletitud.
