VII: Entra la metamatemática en el panorama

Quedan pocas dudas de que la tarea emprendida por Gödel que culminó en 1931 debió de haber sido estimulada en buena medida por la presentación en una conferencia de matemáticos de lo que hoy se conoce como los problemas de Hilbert en un plan de acción presentado por David Hilbert en el Congreso Internacional de Matemáticos celebrado en París a principios del siglo XX, en el año 1900. Los problemas no son poca cosa, baste con señalar que hubo de transcurrir un siglo para que un matemático ruso de nombre Yaroslav Serguéyev (profesor de matemáticas de las universidades de Nizhni Nóvgorod en Rusia y de Calabria en Italia), pudiese resolver el primer problema de Hilbert (se trata de la hipótesis del continuo cuyo enunciado niega la existencia de un conjunto infinito cuyo tamaño se encuentre estrictamente comprendido entre el de los números naturales y el de los reales) y el octavo problema de Hilbert el cual unifica la hipótesis de Riemann (todo cero no trivial de la función zeta tiene una parte real igual a ½) con la conjetura de Goldbach (cualquier número par mayor a 2 se puede expresar como la suma de 2 números primos). Entre los 23 problemas de Hilbert destaca lo que hoy se conoce como el segundo problema de Hilbert que propone “probar que los axiomas de la aritmética son consistentes (esto es, que la aritmética es un sistema formal que no supone una contradicción)”. En buena medida, el Principia Mathematica trataba de sistematizar a las matemáticas en una estructura sólida sin llevar a cabo una demostración formal de la consistencia de las matemáticas en sí.

En la entrada anterior ya se introdujo una herramienta poderosa, la herramienta necesaria para “aritmetizar” por completo un cálculo formal. Pero esto es apenas una parte de la historia. Era necesario ir más lejos.

La metamatemática es considerada el estudio matemático de los fundamentos de las matemáticas. Esto a primera vista puede parecer una quimera imposible de lograr porque parece ser tal como pedirle a un acusado de algún delito que demuestre su inocencia usando para ello las mismas pruebas con las cuales está siendo acusado.

Gödel demostró con pleno rigor lógico que todas las proposiciones metamatemáticas acerca de las propiedades estructurales de las expresiones contenidas en el cálculo pueden ser adecuadamente reflejadas dentro del cálculo mismo. La aplicación de la idea esencial tiene una consecuencia imporante que es la aritmetización de las metamatemáticas que podemos enunciar de la siguiente manera:

Puesto que toda expresión del cálculo está asociada a un cierto número Gödel, puede construírse una proposición metamatemática acerca de las expresiones y de sus relaciones recíprocas como una proposición acerca de los números Gödel correspondientes y de sus relaciones aritméticas recíprocas.

De este modo, la metamatemática queda completamente “aritmetizada” con la ayuda de la numeración Gödel. A menudo se cita el ejemplo de un supermercado muy concurrido en el que se acostumbra darle a los clientes fichar numeradas cuyo orden determina el orden en el que los clientes deberán ser atendidos. Viendo los números resulta fácil decir cuántas personas han sido atendidas, cuántas personas están esperando, qué cliente precede a quien y por cuántos clientes. Si el cliente González tiene el número 29 y el cliente Martínez tiene el número 74, en lugar de explicarle a Martínez que tiene que esperar su turno después de González es suficiente con señalarle que 29 es menor que 74.

La misma situación que ocurre en el ejemplo del supermercado es lo que sucede en la metamatemática. Cada proposición metamatemática está representada por una fórmula única dentro de la aritmética, y las relaciones de dependencia lógica que hay entre las proposiciones metamatemáticas se reflejan en las relaciones de dependencia numérica entre sus fórmulas aritméticas correspondientes.

Así pues, la investigación de todo lo que tiene que ver con las metamatemáticas puede ser desarrollado investigando las propiedades aritméticas y las relaciones que hay entre ciertos números enteros. Vale la pena ilustrar con un ejemplo concreto las consideraciones generales que se acaban de asentar. Considérese el primer axioma del cálculo proposicional que es además un axioma del sistema formal que está siendo sujeto a examen:

(p ∨ p) ⊃  p

El número Gödel de este axioma es:

Por razones de simplicidad, designaremos este número Gödel con la letra a.

En lo que respecta a la fórmula:

(p ∨ p) 

su número Gödel es:

A continuación se enunciará la siguiente proposición metamatemática:

“la fórmula (p ∨ p) es una parte inicial del axioma”

Nos preguntaremos ahora: ¿a qué fórmula aritmética del sistema formal corresponde esta proposición metamatemática? Resulta evidente que la fórmula más pequeña ‘(p ∨ p)’ puede ser una parte inicial de la fórmula mayor, o sea del axioma, si y solamente si el número Gödel b que representa a la primera es un factor del número Gödel a que representa a la segunda. Supuesto de antemano que la expresión “factor de” esté definida convencionalmente en el sistema aritmético formalizado, la única fórmula aritmética que corresponde a la declaración metamatemática antes enunciada tiene que ser:

“b es un factor de a”

Además, si la fórmula es verdadera, o sea si b es un factor de a, entonces es cierto que:

(p ∨ p)

es una parte inicial de:

(p ∨ p) ⊃  p

Enfoquémonos ahora sobre otra proposición metamatemática diferente, la proposición metamatemática “La sucesión de fórmulas con número Gödel x es una prueba de la fórmula con número Gödel z”. Esta declaración está representada (reflejada) por una fórmula definida del cálculo aritmético que expresa una relación estrictamente aritmética entre x y z. Recordando el ejemplo dado en la entrada previa en el cual se asignó el número Gödel:

k = 2^m × 3ⁿ

a la prueba (una demostración en dos pasos) cuya conclusión (segunda fórmula) tiene el número Gödel n, una pequeña reflexión nos hace ver que existe aquí una relación aritmética definica, aunque ciertamente algo compleja, entre k, el número Gödel de la prueba, y n, el número Gödel de la conclusión. Representaremos esta relación entre x y z con la siguiente fórmula (usaremos “Dem” como abreviatura simbólica de la palabra “Demostracion”):

Dem(x,z)

para tener presente la proposición metamatemática a que corresponde, o sea la proposición metamatemática “La sucesión de fórmulas con número Gödel x es una demostración (o prueba) de la fórmula con número G Gödel z ”. Debe quedar claro que aunque ‘Dem(x,z)’ representa la proposición metamatemática, la fórmula misma pertenece no al cálculo proposicional sino al cálculo aritmético. La fórmula podría haber sido escrita con notación más habitual como f(x,z).=.0 en donde la letra f representa una serie compleja de pasos (operaciones aritméticas) llevadas a cabo con números. Sin embargo no se hizo tal cosa porque esta interpretación más habitual no sugiere de inmediato la interpretación metamatemática de la fórmula.

Póngase ahora atención en el hecho de que una proposición metamatemática que dice que una cierta sucesión de fórmulas constituye una prueba de de una fórmula dada es verdadera si y solamente si el número Gödel de la pretendida demostración está con el número Gödel de la conclusión en la relación aritmética que aquí hemos simbolizado como “Dem”. Por lo tanto, para establecer la verdad o la falsedad de la proposición metamatemática que está siendo examinada lo único que nos interesa es el asunto de si la relación Dem se sostiene entre dos números. Razonando a la inversa, se puede establecer que la relación aritmética se cumple entre un par de números demostrando así que es verdadera la declaración metamatemática reflejada por dicha relación entre dos números. De manera análoga, la proposición metamatemática “la sucesión de fórmulas con el número Gödel x no es una demostración para la fórmula con número Gödel z” se representa en el sistema aritmético formalizado también con una fórmula definida que vendría siendo la negación lógica formal de ‘Dem(x,z)’, o sea:

∼Dem(x,z)

Para poder sacar a flote el punto principal de la argumentación de Gödel resulta deseable agregar un poco más acerca de esta notación especial que estamos usando, tomando como ejemplo la fórmula:

(∃x)(x = sy)

a la cual en la entrada anterior se le asignó el número Gödel m, mientras que el número Gödel de la variable y es 13. Substituyendo en dicha fórmula la variable del número Gödel 13, o sea y, por el numeral de m, el resultado obtenido será la fórmula:

(∃x)(x = sm)

que dice literalmente que “existe un número x tal que x es el sucesor inmediato de m. Esta última fórmula también tiene un númemro Gödel que podemos calcular con facilidad. En lugar de llevar a cabo tal cálculo aritmético, es posible identificar tal número mediante una caracterización metamatemática inequívoca. Se trata del mismo número Gödel de la fórmula que se obtiene a partir de la fórmula con número Gödel m sustituyendo la variable del número Gödel 13 por el numeral de m. La caracterización metamatemática determina unívocamente (de una sola manera) un número bien definido que es una cierta función aritmética de los números m y 13 en la que puede ser expresada la función misma dentro del sistema formalizado. Se trata de una función aritmética sumamente compleja. El número por lo tanto puede ser designado dentro del cálculo, y la designación simbólica que le daremos aquí a dicho número será:

sust(m,13,m)

Esta designación tiene el propósito de hacernos recordar la caracterización metamatemática que representa, la cual expresada en palabras nos dice que se trata de “el número Gödel de la fórmula obtenida a partir de la fórmula de número Gödel m” cuando se sustituye la variable de número Gödel 13 por el numeral de m”.

Hacemos ahora a un lado el ejemplo con la finalidad de poder generalizar. Podemos darnos cuenta de inmediato que la expresión ‘sust(m,13,m)’ es la imagen reflejada dentro del cálculo aritmético formalizado de la caracterización metamatemática “el número Gödel de la fórmula que se obtiene a partir de la fórmula de número Gödel y sustituyendo la variable del número Gödel 13 por el numeral de y”.

Obsérvese también que cuando se sustituye y por un numeral definido en ‘sust(y,13,y)’ (por ejemplo, el numeral de m o el numeral de 243,000,000) la expresión resultante designa un entero definido que viene siendo el número Gödel de una determinada fórmula.